Ймовірність влучення в інтервал:
Правило «трьох сигм».
Практично достовірне подія, що значення випадкової величини, нормально розподіленої з параметрами m і укладені в інтервалі (m-3 # 963 ;; m + 3 # 963;).
Вважаючи, що зростання чоловіків певної вікової групи є випадкова величина X. Знайти. . частку костюмів 4-го зростання (176; 182см), яку потрібно передбачити в загальному обсязі виробництва для даної вікової групи.
Нормальний закон розподілу найбільш часто зустрічається на практиці. Головна особливість, що виділяє його серед інших законів, полягає в тому, що він є граничним законом, до якого наближаються інші закони розподілу при досить часто зустрічаються типових умовах. За допомогою нормального закону отримано ряд важливих розподілів (логарифмічно-нормальний, хі-квадрат, розподіл Стьюдента, розподіл Фішера-Снедекора).
Закон великих чисел.
Під законом великих чисел розуміють стійкість середніх: при дуже великому числі випадкових явищ середній їх результат практично перестає бути випадковим і може бути передбачений з великим ступенем визначеності. Під законом великих чисел в теорії ймовірностей розуміється ряд теорем, в кожній з яких встановлюється факт наближення середніх характеристик великої кількості випробувань до деяких певним постійним.
Теорема 1 (нерівність Маркова). Нехай Х - випадкова величина, для якої існує математичне сподівання. Якщо P (X <0)=0, то
За умовою P (X <0)=0, следовательно, случайная величина Х принимает лишь неотрицательные значения.
1) Нехай Х - дискретна випадкова величина. тоді
2) Нехай Х - неперервна випадкова величина. тоді
Оцінити ймовірність того, що при 3600 незалежних киданнях грального кубика число появ 6 очок буде не менше 900.
Використовуємо нерівність Маркова і властивість математичного очікування
Теорема 2 (нерівність Чебишева). Для будь-якої випадкової величини Х. має математичне сподівання М (Х) і дисперсію D (Х), і для будь-якого позитивного числа справедливо нерівність:
Подія рівносильно або
По теоремі 1 отримаємо:
Зауваження. Перейшовши до протилежного події, нерівність Чебишева можна записати у вигляді:.
Імовірність появи події А в кожному випробуванні дорівнює 0,5. Оцінити ймовірність того, що число появ події А буде укладено від 40 до 60 в 100 незалежних випробуваннях.
Теорема 3 (теорема Чебишева). Якщо випадкові величини:
1) попарно незалежні;
2) мають математичні очікування;
3) мають дисперсії. обмежені в сукупності (тобто для будь-якого k від 1 до n виконується);
то для будь-якого позитивного числа виконується:
Розглянемо випадкову величину.
Скористаємося нерівністю Чебишева:
(Прагне до 0 при)
Зауваження. Якщо виконані умови теореми Чебишева, то кажуть, що при необмеженому збільшенні числа n середня арифметична випадкових величин сходиться по ймовірності до середньої арифметичної їх математичних очікувань:
Теорема 4 (теорема Хинчина). Якщо випадкові величини:
1) попарно незалежні;
2) однаково розподілені;
3) мають математичне сподівання m; то
Теорема 5 (теорема Бернуллі). Частота події A в n незалежних випробуваннях сходиться по ймовірності до ймовірності настання події А в одному випробуванні:
Теорема Бернуллі обґрунтовує статистичне визначення ймовірності.
Розглянуті теореми (закон великих чисел) встановлюють факт наближення середніх великого числа випадкових величин до певних постійним. Але цим не обмежуються закономірності, що виникають в результаті сумарної дії випадкових величин. Виявляється, що при деяких умовах сукупна дія випадкових величин приводить до нормального закону розподілу.