Функція, безперервна зі своїми похідними до другого порядку в деякому обсязі і яка задовольнить там рівняння Лапласа, називається гармонійної функцією.
1. Розглянемо функцію U. гармонійну в обмеженій області D з поверхнею S. Вважаючи, що U неперервна разом з похідними другого порядку аж до S. та застосовуючи другу формулу Гріна (2) до цієї функції U і до гармонійної функції V = 1, отримаємо , в силу DV = D (1) = 0 і
тобто, маємо перше властивість гармонійної функції: інтеграл від нормальної похідної гармонійної функції від поверхні області дорівнює нулю.
2. Якщо застосуємо до гармонійної функції U формулу (3), то, в силу DU = 0, отримаємо:
Це дає нам друга властивість гармонійної функції: значення гармонійної функції в будь-якій точці всередині області виражається через значення цієї функції і її нормальної похідної на поверхні області формулою (2).
3. Застосуємо формулу (2) до сфери з центром в і радіусом R. вважаючи, що функція U гармонійна в цій сфері і неперервна з похідними першого порядку аж до її поверхні.
В даному випадку напрямок зовнішньої нормалі n збігається з напрямком радіуса сфери, так що ми будемо мати
і формула (2) дає
Але на поверхні сфери величина r має постійне значення R, так що
або, в силу (1), матимемо остаточно
Ця формула виражає третя властивість гармонійної функції: значення гармонійної функції в центрі сфери одно середньому арифметичному значенню цієї функції на поверхні сфери, тобто, так само інтегралу від значень функції по поверхні сфери, поділеній на площу цієї поверхні.
4. Функція, гармонійна всередині області і безперервна аж до кордону області, досягає свого найбільшого і найменшого значення тільки на кордоні області, крім того випадку, коли ця функція є постійна.