Основні властивості равносильности нерівностей
Властивість 1. Якщо до обеемі частин нерівності додати одне і те ж вираз, визначене на ОДЗ вихідного нерівності, то вийти нерівність, рівносильну даній нерівності. Тобто $$ f (x)> g (x) \ Leftrightarrow \ left \<\beginf(x) + t(x)> g (x) + t (x), \\ x \ in ОДЗ \\ \ end \ right. $$
- Якщо перенести доданки з однієї частини нерівності в іншу, то вийти нерівність, рівносильне вихідному.
- Вимога до $$ x \ in ОДЗ $$ в слідстві суттєво.
- Якщо функція $$ t (x) $$ визначена не для всіх $$ x \ in ОДЗ $$, то равносильность порушена, і перетворення може призвести до втрати коренів.
Властивість 2. Якщо обидві частини нерівності помножити або розділити на одне й те саме вираз, більше нуля, певне на ОДЗ вихідного нерівності, то вийти нерівність, рівносильну даній нерівності. Тобто $$ \ left \<\begin f(x)> g (x) \\ t (x)> 0 \\ \ end \ right. \ Leftrightarrow \ left \<\begin f(x) \cdot t(x)> g (x) \ cdot t (x), \\ x \ in ОДЗ \\ \ end \ right. $$
Зауваження. Якщо обидві частини нерівності помножити або розділити на одне й те саме додатне число, то вийти нерівність, рівносильну даній нерівності.
Властивість 3. Якщо обидві частини нерівності помножити або розділити на одне й те саме вираз, менше нуля, певне на ОДЗ вихідного нерівності, а потім поміняти знак нерівності на протилежний, то вийти нерівність, рівносильну даній нерівності. Тобто $$ \ left \<\beginf(x)> g (x) \\ t (x) <0 \\ Зауваження. Якщо обидві частини нерівності помножити або розділити на одне й те саме від'ємне число, а потім поміняти знак нерівності на протилежний, то вийти нерівність, рівносильну даній нерівності. Приклад. Вирішіть нерівність $$ \ left (\ right) ^ 2> \ left (\ right) ^ 2 $$ Рішення. Перетворимо вихідне нерівність і отримаємо $$ \ left (\ right) ^ 2> \ left (\ right) ^ 2 \ Leftrightarrow \ left (\ right) ^ 2 - \ left (\ right) ^ 2> 0 \ Leftrightarrow - 4x + 20> 0 \ Leftrightarrow x <5 $$. Ответ: $$ x \in \left( <- \infty ;5> \ Right)
\ End \ right. \ Leftrightarrow \ left \<\begin f(x) \cdot t(x)
$$