Селькова Марія, учениця 10 класу МАОУ ЗОШ № 11 г.Чайковский
Рішення алгебраїчних рівнянь в цілих числах з цілими коефіцієнтами більш ніж з одним невідомим є однією з найважчих і найдавніших математичних задач. Цими завданнями багато займалися найвидатніші математики давнини. Рішення рівнянь в цілих числах є важливим завданням і для сучасної математики.
Ще в початковій школі на уроках математики перед учнями часто ставили завдання з'ясувати, за яких допустимих значеннях букви обидві частини того чи іншого рівності приймають однакові числові значення. На рівність в цьому випадку ми дивилися як на рівняння щодо зазначеної невідомої величини. У восьмому класі познайомилися з рішенням квадратних рівнянь з однією змінною. Але, готуючись до олімпіад, розглядаючи матеріали Єдиного державного іспиту, учні зустрічаються з завданнями, в яких пропонуються рівняння з двома змінними.
Тому дана тема актуальна для старшокласників, що здають іспит з математики.
Так само ця тема актуальна для вступників до ВНЗ фізико-математичної спрямованості, для тих, хто захоплюється математикою і для тих, хто готуватися брати участь в олімпіадах.
- Вступ………………………………………………………. стор.2
- Особливості вирішення рівнянь в цілих числах .......... стор.5
- Рівняння з одним невідомим ......................... стор.5
- Знаходження цілих коренів рівняння з цілими коефіцієнтами .............................................. стр. 8
- Рішення рівнянь в цілих числах з двома і більше невідомими ................................................... стор.11
- Висновок ............................................................. стр. 15
- Список літератури ................................................... стор.16
- Додаток.
Рішення алгебраїчних рівнянь в цілих числах з цілими коефіцієнтами більш ніж з одним невідомим є однією з найважчих і найдавніших математичних задач. Цими завданнями багато займалися найвидатніші математики давнини, наприклад, грецький математик Піфагор (VIвека до н.е.), олександрійський математик Діофант (III століття н.е.), П. Ферма (XVII ст.), Л. Ейлер (XVIII століття ), Ж.Л.Лагранж (XVIII століття), П.Діріхле (XIX століття), К. Гаус (XIX століття), П.Чебишев (XIX ст.) і багато інших.
Рішення рівнянь в цілих числах є важливим завданням і для сучасної математики. Теоретичний інтерес рівнянь в цілих числах досить великий, так як ці рівняння тісно пов'язані з багатьма проблемами теорії чисел.
Ще в початковій школі на уроках математики перед нами часто ставили завдання з'ясувати, за яких допустимих значеннях букви обидві частини того чи іншого рівності приймають однакові числові значення. На рівність в цьому випадку ми дивилися як на рівняння щодо зазначеної невідомої величини. У восьмому класі ми познайомилися з рішенням квадратних рівнянь з однією змінною. Але, готуючись до олімпіад, розглядаючи матеріали Єдиного державного іспиту, ми зустрічаємося із завданнями, в яких пропонуються рівняння з двома змінними.
Тому я вважаю, що моя тема актуальна для старшокласників, що здають іспит з математики.
Так само ця тема актуальна для вступників до ВНЗ фізико-математичної спрямованості, для тих, хто захоплюється математикою і для тих, хто готуватися брати участь в олімпіадах.
З'явилося бажання дізнатися можна вирішити такі рівняння, і які методи застосовуються для їх вирішення, чи всі вони мають алгоритм рішення і де застосовуються.
Розглядаючи різні джерела, ми відзначаємо, що проблема вирішення рівнянь в цілих числах вирішена до кінця тільки для рівнянь з одним невідомим, для рівнянь першого ступеня і для рівнянь другого ступеня з двома невідомими. Для рівнянь вище другого ступеня з двома або більше невідомими досить важкою є навіть завдання існування цілочисельних рішень.
Проблема ще в тому, що не кожен знає особливості рішень деяких рівнянь.
Так само є багато підходів до вирішення рівнянь в цілих числах, але не кожен може або розуміє як ними користуватися. Рішення рівнянь більш ніж з одним невідомим найбільш складна проблема.
Рішення рівнянь в цілих числах в літературі розглядається тільки для рівнянь другого ступеня з двома невідомими. Для вирішення рівнянь вище другого ступеня з двома і більше невідомими важкими є завдання знаходження всіх рішень в цілих числах і встановлення існування кінцевого або нескінченного безлічі таких рішень.
Часто зустрічаються завдання, де треба вирішити завдання або в цілих числах, або тільки в натуральних.
У своїй роботі я розглянула завдання з матеріалів олімпіад і завдань С6 з ЄДІ.
Розглянути особливості вирішення рівнянь в цілих числах.
- Навчитися розв'язувати рівняння в цілих числах різними способами.
- Застосовувати різні способи розв'язання рівнянь в цілих числах на практиці.
- Ознайомити однокласників, як вирішуються такі рівняння.
Рівняння в цілих числах
Способи вирішення рівнянь в цілих числах.
Розгляд досить великого числа рівнянь в цілих числах дозволить зробити висновок про наявність деякого алгоритму вирішення даних рівнянь або відсутності такого.
2.Особенности рішення рівнянь в цілих числах
Рішенням рівняння з одним невідомим називається значення невідомого, при якому рівняння перетворюється в правильну числову рівність.
Відповідно рішенням рівняння з кількома невідомими називається набір значень невідомих, при підстановці яких у рівняння воно перетворюється в правильну числову рівність. Часто рішення рівняння з одним невідомим називають корінням рівняння.
1) Рівняння з одним невідомим.
Розглянемо рівняння першого ступеня з одним невідомим
буде цілим числом тільки в тому випадку, коли без остачі ділиться на. Таким чином, рівняння (1) не завжди вирішується в цілих числах; так, наприклад, з двох рівнянь і перше має цілий розв'язок. а друге в цілих числах нерозв'язною.
Рівняння другого ступеня з одним невідомим.
З тим же обставиною ми зустрічаємося і в разі рівнянь, ступінь яких вище першої: квадратне рівняння має цілі рішення. ; рівняння в цілих числах нерозв'язною, так як його коріння. ірраціональні.
Розглянемо завдання, де задається конкретне умова про цілих значеннях коренів.
Завдання 1. Квадратний тричлен має цілі корені, по модулю більші 2. Довести що число - складене.
По теоремі Вієта:
Завдання 2. Знайти всі такі цілі a і b, що корені рівняння x 2 + (2a + 9) x + 3b + 5 = 0 є різними цілими числами, а коефіцієнти 2a + 9 і 3b + 5 - простими числами.
Скористаємося властивостями коренів квадратного рівняння: x 1 x 2 = 3b + 5. За умовою 3b + 5 - просте число, а x 1 і x 2 - цілі. З властивостей простих чисел отримуємо, що є лише 2 випадки: x 1 = 1, x 2 = 3b + 5 иx 1 = -1 і x 2 = - (3b + 5). Значення x 1 і x 2 можна поміняти місцями, тому що порядок в даному випадку не має значення. Знову скористаємося властивостями коренів квадратного рівняння: x 1 + x 2 = 2a + 9. Але так як серед коренів один за модулем дорівнює 1 (1 або -1), а другий по модулю дорівнює 3b + 5, то отримуємо, що 2a + 9 відрізняється від 3b + 5 на 1. Отже, одне з цих парне, а друге - непарне. За умовою же вони обидва є простими. Відомо лише одне парне просте число - 2. Друге відрізняється від нього на 1, тобто дорівнює 3 (1 не є простим числом). Отримуємо, що коефіцієнти рівняння рівні 2 і 3. Отримуємо 2 рівняння:
Перше не має рішення. А коріння другого: -1 і -2. Обидва є цілими числами. Значить рівняння має вигляд x 2 + 3x + 2 = 0
2) Знаходження цілих коренів рівняння з цілими коефіцієнтами.
Знаходження цілих коренів алгебраїчних рівнянь з цілими коефіцієнтами засноване на наступній теоремі.
Нехай - рівняння з цілими коефіцієнтами. Якщо число. де p і q - цілі числа і дріб нескоротних, є коренем рівняння, то p є дільник вільного члена. а q - дільник коефіцієнта при старшому члені.
Ми не ставимо собі за мету підтвердження цієї теореми. Наше завдання показати, як дана теорема застосовується при вирішенні рівнянь в цілих числах.
1) Якщо в рівнянні відсутній вільний член, тобто a 0 = 0, то виноситься за дужки x в максимально можливій мірі і виходить рівняння меншій мірі з вільним членом не рівним 0 і корінь x = 0.
2) Перший корінь знаходиться методом підбору. Перебираються всі подільники вільного члена, поки не буде знайдений перший корінь x = x 1. Після цього ліва частина рівняння ділиться стовпчиком на x - x 1 і виходить рівняння меншій мірі. Ця дія повторюється, поки не буде отримано квадратне рівняння, яке вирішується за формулою.
Приклад. x 3 + 6 x 2 + 5 x - 12 = 0
Корінням можуть бути подільники вільного члена, який дорівнює 12. Це числа: 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 12, -12. Перевіримо їх. Перше ж число x = 1 є коренем рівняння.
Поділимо ліву частину рівняння на x-1: (x 3 + 6 x 2 + 5 x - 12) :( x - 1) = x 2 + 7 x + 12.
Отримали квадратне рівняння, вирішивши яке знаходимо ще 2 кореня: -3 і -4. Як видно, обидва вони є дільниками 12.
Знаючи один корінь многочлена, можна розкласти його на множники, тобто якщо - корінь многочлена. то
На конкретному прикладі розглянемо інший підхід до розкладання многочлена на множники при вирішенні рівнянь в цілих числах
Рішення: оскільки старший коефіцієнт дорівнює 1, q = 1. Вільний член має подільники 1, 2, 4, 8, 16. Таким чином, якщо це рівняння має цілий корінь, то цей корінь буде серед чисел Підставляючи їх в ліву частину, знайдемо Отже, ліва частина розкладається на множники, один з яких (y - 2).
Провести це розкладання можна за допомогою методу, який назвемо методом угруповання. Суть його в тому, щоб представити многочлен у вигляді суми пар доданків таким чином, щоб з кожної пари можна було виділити множник (y - 2). Оскільки перший член дорівнює. то в якості другого доданка слід взяти. в результаті чого утворюється пара. в якій можна винести множник y - 2. Таким чином, від другої члена ми «зайняли». залишається. Додаємо 6y, отримаємо пару + 6y = -3y (y - 2) і т.д. В результаті матимемо:
Таким чином, для знаходження інших коренів треба вирішити рівняння - 3y - 8 = 0. Його коріння:. . але і не цілі числа, тому коренем рівняння буде 2.
Задача2. Знайти цілі корені рівняння
2x 4 + 7x 3 - 12x 2 - 38x + 21 = 0.
Рішення. Подільники вільного члена рівняння: ± 1. Позитивні подільники старшого коефіцієнта: 1. Отже, всі цілі корені рівняння знаходяться серед чисел. Підставляючи x = ± 1 робимо висновок, що тільки x = -1 є коренем цього рівняння.
- Рішення рівнянь в цілих числах
з двома і більше невідомими.
Так як проблема рішення рівнянь з двома і більше невідомими і ступенем вище двійки вирішена не до кінця я приведу тільки декілька прикладів розв'язання таких рівнянь.
Завдання 1. Вирішити в натуральних числах рівняння
При n = 25 дане рівняння
. набуде вигляду що неможливо.
з рівняння (1) висловимо m
З чого видно, що m є натуральним числом при n> 25 і при. де - ціле число.
625 ділиться на ступеня 5.
Розглянемо, за яких значеннях n, m прийме цілі значення.
. отже, чим більше значення виразу. тим більше n і тим менше m. Тому далі розглядати рівняння немає сенсу, тому що умова виконується тільки в перших двох випадках.
Завдання 2. Вирішити в цілих числах рівняння
. попарно взаємно прості, а їх добуток дорівнює повному квадрату, отже,. інакше не буде квадратом!
Завдання 3. Вирішити в цілих числах рівняння
Рішення. Розділивши з залишком -6 на 4, отримаємо -6 = 4 (-2) + 2. Уявімо вихідне рівняння у вигляді
4 (x - 2 y) + 2 y + 11 z = 7.
Після заміни x = x - 2 y це рівняння запишеться в такий спосіб
4 x + 2 y + 11 z = 7.
З огляду на, що 11 = 2 · 5 + 1, перетворимо останнє рівняння:
4 x + 2 (y + 5 z) + z = 7.
Поклавши y = y + 5 z. отримаємо
Це рівняння має наступне рішення: x. y - довільні цілі числа, z = 7 - 4 x - 2 y. Отже y = y - 5 z = 20 x + 11 y - 35, x = x + 2 y = 41 x + 22 y - 70.
Таким чином, рішення вихідного рівняння має вигляд
x = 41 x + 22 y - 70