4. Доведіть, що якщо а і видання - такі позитивні цілі, що ab вільно від квадратів, ab ф 3 (mod 4), і кожен рід детермінанта D = -ab містить тільки один клас, то такі умови необхідні і достатні для того, щоб до = ах2 + by2 було простим числом: (1) ах і by взаємно прості; (2) ах і by мають протилежну парність; (3) єдиними уявленнями к = аі1 +'являются такі уявлення Cu = + х, v = + у. [Без обмеження спільності, можна припустити, що a = p1p2. рп непарній. Тоді ак - норма головного дівізоров виду [P1, *) (р2, *). (Рп, *) А.] Ті, хто має такий відчіслап = ab (такі, як +165) Ейлер називав зручними числами (numerus idoneus). При повному дослідженні зручних чисел необхідно розглянути випадки ab = 3 (mod 4) та / або ab не вільне від квадратів. Див. Упр. 8-12 до § 8.1.
5. Знайдіть всі значення х, менші 50, для яких 165 + х- є простим числом. [Крім очевидних винятків, що відповідають умовам (1) і (2), є ще 5 винятків, що відповідають умові (3), що в підсумку дає 7 простих.]
6. Доведіть, що 5 - зручне число. Доведіть, що 1301 = 362 + 5 - просте число. [Починаючи з 1301, віднімайте послідовно 5, 15, 25, 35, 45. Зверніть увагу на те, що ця прогресія містить тільки один квадрат.]
7. Гіпотеза Ферма про числах виду ж2 - (- 5У2 (див. § 1.7) полягає в тому, що якщо P1 і р2 - прості, які можна порівняти з 3 по модулю 4 і які в десяткового запису закінчуються на 3 або 7, то p1p2 = х2 + 5У2. Доведіть, що ця гіпотеза вірна. [з порівнянь р = 3 або 7 (mod 20) випливає, що р розпадається і його прості дівізоров належать одному неголовних класу, що збігається з родом.]
8. Доведіть, що непарне просте р має вигляд р = х2 - Dy2 тільки тоді, коли р або р + D є квадрат по модулю 4D. Ейлер вважав, що ця умова є також і достатнім. Дійсно, найменші значення D, при яких це не виконується, досить великі. Одне з них знайшов Лагранж [L2, розд. 84]. Прикладом Лагранжа є випадок D = 79, р = 101; тоді р + D - квадрат по модулю 4Z>, але р Ф х2 - Dy2. Більш 7.10. двосторонні класи
того, Лагранж зауважив, що не можна відповісти на питання про те, чи справедливо рівність р = х2 - Dy2, не знаючи нічого, крім класу р по модулю 4D. Дійсно, 101 = 733 (mod 4D), 733 - просте та 733 = х2 - Dy2 (при D = 79). Переформуліруйте ці твердження в термінах класів та пологів простих дільників чисел 101 і 733 і доведіть їх. Менше значення D. суперечить гіпотезі Ейлера, приведено в упр. 9 до § 8.4.
7.10. двосторонні класи
Гаусс називав клас дівізоров (хоча, звичайно, в його формулюванні йшлося про класи бінарних квадратичних форм, а не дівізоров) двостороннім класом, якщо цей клас збігається зі своїм зв'язаним. Це визначення можна сформулювати інакше, якщо сказати, що будь-який дільник А з даного класу задовольняє співвідношенню Л
А, або, простіше кажучи, що квад "рат цього класу дорівнює головному класу. Гаусс виявив, чт ° число двосторонніх класів (або принаймні верхню межу для нього) можна знайти безпосередньо, не вдаючись до квадратичного закону взаємності або до теорем Ейлера, і що це дає достатньо інформації про можливих характерах класів дівізоров, щоб звідси можна було вивести квадратичний закон взаємності (і, отже, всі теореми Ейлера з § 7.8). цей параграф присвячений підрахунку числа двосторонніх класів-Висновок квадратичного закону взаимн сті наведено в следующе му параграфі.
Якщо р - розгалужене просте, то (р, *) 2
/ І клас дівізоров (р, *) є двостороннім. Крім того, при D> 0 в двосторонньому класі лежить (-1, *). Отже, будь-який твір (р15 *) (р2, *). (Ph, *), де P1, р2. ph - розгалужені прості або, при D> 0, P1 може дорівнювати -1, лежить в двосторонньому класі. Пряме вивчення прикладів з § 7.6 дозволяє переконатися, що таким чином виходять всі двосторонні класи, т. Е. Будь-який двосторонній клас містить дільник виду (Pi> *) (Рг> *) • • • (Pk, *) • [При D = 67 обидва класу є двосторонніми; один містить I - пусте твір, (-1, *) XX (2, *), (-1, *) (67, *) і (2, *) (67, *), другий містить (-1, * ), (2, *), (67, *) і (-1, *) (2, *) (67, *). При D = -165 дівізоров Л = (2, *), В = (3, *), С = (5, *) і їх твори лежать у всіх 8 можливих класах. Якщо D = -163, то єдиний клас є двостороннім і містить як пусте твір I, так і (163, *). При D = 79 двосторонніми є класи I я В3, де В = (З, 1). Перший з них містить I, (2, *), (-1, *) х X (79, *) і (-1, *) (2, *) (79, *), а другий (-1, * ), (79, *), (-1, *) (2, *) і (2, *) (79, *). Якщо D = -161, то двосторонніми є класи 1, Ai, В, AiB, де А = (З, 1), В = (7, *). Вони містять / і (7, *) (23, *); (2, *) і (2, *) (7, *) (23, *); (7, *) і (23, *); (2, *) (7, *) і (2, *) (23, *) відповідно. при
Гл. 7. Теорія дівізоров квадратичних цілих