Продовжуємо вивчати ознаки подільності. На черзі ознака подільності на 9. Зараз ми дамо його формулювання, розберемо приклади його застосування для встановлення подільності на 9 даного цілого числа і наведемо доказ ознаки подільності на 9. На закінчення зупинимося на доказі подільності на 9 значень виразу зі змінною при різних значеннях змінної.
Навігація по сторінці.
Ознака подільності на 9, приклади
Для початку сформулюємо ознака подільності на 9. якщо сума цифр цілого числа ділиться на 9. то й саме число ділиться на 9; якщо ж сума цифр числа не ділиться на 9. то це число не ділиться на 9.
З наведеної формулювання зрозуміло, що для використання ознаки подільності на 9 необхідно знати, як виконується складання натуральних чисел. Ще для застосування ознаки подільності на 9 потрібно знати, що з однозначних натуральних чисел на 9 ділиться тільки число 9. а числа 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7 і 8 на 9 не діляться.
Тепер можна розглянути найпростіші приклади застосування ознаки подільності на 9.
Які з чисел 621. -32 112. 222. -331 діляться на 9.
Обчислимо суми цифр кожного з даних чисел, маємо 6 + 2 + 1 = 9. 3 + 2 + 1 + 1 + 2 = 9. 2 + 2 + 2 = 8 і 3 + 3 + 1 = 7. Так як 9 ділиться на 9. а 8 і 7 не діляться на 9. то ознака подільності на 9 дозволяє стверджувати, що 621 і -32 112 діляться на 9. а числа 222 і -331 - немає.
621 і -32 112.
У більш складних випадках сума цифр даного цілого числа може бути двозначним, тризначним і т.д. числом. Наприклад, сума цифр числа 945 дорівнює 18. а сума цифр числа 999 888 777 666 555 дорівнює 105. Для встановлення подільності на 9 в цих випадках ознака подільності на 9 доводиться застосовувати кілька разів (точніше доводиться кілька разів поспіль обчислювати суми цифр виходять чисел). Розглянемо це на прикладі.
Чи ділиться число 876 505 998 872 на 9.
Скористаємося ознакою подільності на 9. Для цього обчислимо суму цифр даного числа: 8 + 7 + 6 + 5 + 0 + 5 + 9 + 9 + 8 + 8 + 7 + 2 = 74. А чи ділиться 74 на 9. Для відповіді на це питання обчислимо суму цифр числа 74. маємо 7 + 4 = 11. а сума цифр числа 11 в свою чергу дорівнює 1 + 1 = 2. Так як 2 не ділиться на 9. то за ознакою подільності на 9 і число 11 не ділиться на 9. отже, на 9 не ділиться і 74. а значить, і вихідне число.
Відзначимо також, що перевірити здатність даного числа ділитися на 9 можна, безпосередньо розділивши дане число на 9 (найзручніше виконати ділення стовпчиком). Досить часто на виконання безпосереднього розподілу йде приблизно стільки ж часу, як і на застосування ознаки подільності на 9.
Доказ ознаки подільності на 9
Для доказу ознаки подільності на 9 нам будуть потрібні кілька допоміжних результатів. Обговорюємо їх.
Будь-яке натуральне число a ми можемо розкласти по розрядах. після чого правила множення натурального числа на 10, 100, 1 000 дозволяють нам записати уявлення числа a виду a = an · 10 n + an-1 · 10 n-1 + ... + a2 · 10 2 + a1 · 10 + a0. де an. an-1. ..., a0 - цифри, які стоять зліва направо в запису числа a. Так як 10 = 9 + 1. 100 = 99 + 1 = 11 · 9 + 1. 1 000 = 999 + 1 = 111 · 9 + 1. ..., то уявлення числа a набуде вигляду. Після невеликих перетворень приходимо до рівності виду. Сума є сумою цифр числа a. Позначимо її для стислості буквою A. тоді. Це уявлення числа a ми і будемо використовувати при доказі ознаки подільності на 9.
Також нам знадобляться дві властивості подільності.- щоб ціле число a поділялося на ціле число b необхідно і достатньо, щоб модуль числа a ділився на модуль числа b;
- якщо в рівність a = s + t всі члени, крім якогось одного, діляться на деяке ціле число b. то і цей один член ділиться на b.
Ось тепер можна провести доказ ознаки подільності на 9. Для зручності перепишемо цю ознаку у вигляді необхідного і достатнього умови подільності на 9.
Для подільності цілого числа a на 9 необхідно і достатньо, щоб сума цифр у записі числа a ділилася на 9.
Для a = 0 теорема очевидна.
Для a. відмінних від нуля, модуль числа a є числом натуральним, тому його можна представити у вигляді суми. що ми показали перед теоремою. У вираженні міститься множник 9. а сума в дужках є натуральним числом при будь-яких an. an-1. ..., a1. тому в силу властивостей подільності вказане вираз ділиться на 9.
Приступаємо до доведення достатності. Доведемо, що якщо сума цифр числа a (яку ми позначили як A) ділиться на 9. то число a ділиться на 9.
Якщо A ділиться на 9. то з рівності і другого зазначеного перед теоремою властивості подільності слід, що модуль a ділиться на 9. звідки в силу першого зазначеного перед теоремою властивості подільності слід, що і a ділиться на 9. Так доведена достатність.
Переходимо до доказу необхідності. Доведемо, що якщо ціле число a ділиться на 9. то сума його цифр ділиться на 9.
Якщо a ділиться на 9. то і модуль числа a ділиться на 9 (за першим вказаною перед теоремою властивості подільності). Тоді з рівності і другого зазначеного властивості подільності слід, що А ділиться на 9. Так доведено необхідність.
На цьому доказ ознаки подільності на 9 завершено.
Інші випадки подільності на 9
У цьому пункті ми хочемо торкнутися приклади докази подільності на 9. коли число задано у вигляді значення буквених виразів при деяких значеннях змінної.