49Закон розподілу суми випадкових величин. Композиція законів розподілу.
Одна з найважливіших для практики приватної завдання, а саме - знаходження закону розподілу суми двох випадкових величин.
Нехай є система СВ (X, Y) з щільністю розподілу f (x, y). Розглянемо суму СВ X і Y Z = X + Y і знайдемо закон розподілу випадкової величини Z. Для цього побудуємо лінію на площині ХОУ лінію Z = X + Y. Вона ділить площину на дві частини Z> X + Y і Z Диференціюючи цей вираз по змінної Z, що входить в верхня межа внутрішнього інтеграла, одержимо Це - загальна формула для визначення щільності розподілу суми двох випадкових величин. Оскільки задача симетрична, то. Особливе практичне значення має випадок, коли складаються СВ (X, Y) незалежні. Тоді говорять про композиції законів розподілу. Для незалежних випадкових величин X і Y Для позначення композиції законів застосовують символічну запис:. Закон розподілу ймовірностей називають стійким, якщо композиція таких законів є той же закон (що відрізняється тільки параметрами). Нормальний закон має властивість стійкості. КОМПОЗИЦІЯ НОРМАЛЬНИХ ЗАКОНІВ Розглянемо дві незалежні С.В. Х і У, підлеглі нормальними законами: Потрібно знайти композицію цих законів, тобто знайти закон розподілу величини Z = X + Y. Застосовуємо загальну формулу для композиції законів розподілу: Розкриваємо дужки в показнику ступеня підінтегральної функції і наводимо подібні члени, отримуємо Використовуючи інтеграл Ейлера:. отримуємо Підставляємо значення А, В, С в цю формулу і після перетворень, отримуємо: - це і є нормальний закон з центром розсіювання і середньо квадратичним відхиленням Отже, при композиції нормальних законів виходить нормальний закон, причому МО і дисперсії (або квадрати С.К.О.) підсумовуються.Схожі статті