просто до мене ніяк не може дійти цей момент, дотичний простір воно існує поза різноманіття (тільки стосується його), значить різноманіття вже в щось вкладено або такий хід думки є помилковим?
Є така конструкція (теж з диференціальної геометрії, але з більш далеких глав):
Візьмемо (гладке) різноманіття. Візьмемо його точку Прірісуем до цієї точки (як до початку координат) лінійне простір такий же розмірності, і назвемо його дотичним простором (для цього, домовимося, що малі кроки в сторони по різноманіттю, в точки узгоджені з цим дотичним простором за напрямками і числовим коефіцієнтам ). Все це можна уявляти собі вкладеним в якийсь осяжний простір, як звичайну викривлену поверхню, і дотичну до неї в точці площину. Але це тільки для допомоги уяві: в самій конструкції у нас є тільки різноманіття і прибудоване до нього лінійний простір.
Далі, повторимо ту ж саму процедуру з кожною точкою різноманіття. У нас вийде така конструкція: різноманіття як "основа" (база), а з кожної точки росте ще один простір. Така конструкція називається розшарування (по-англійськи fiber bundle. Що більше схоже на щітку або посудний йоржик). Розшарування - новий тип просторів, для них будується своя теорія диференціальної геометрії (розділ "диференціальної геометрії" в широкому сенсі). В даному випадку, ми маємо так зване дотичне розшарування - розшарування, в якому кожен шар є дотичний простір. Від шару до шару можна переходити не тільки через нульові точки: між ними є функції переходу (зв'язність), що дозволяють встати на будь-яку точку шару, і подивитися, яка точка відповідає їй в "сусідньому" шарі, зведеному над точкою
Так ось, щоб працювати з дотичними просторами і паралельними переносами, досить повністю поставити на різноманітті структуру дотичного розшарування, і не треба ні в що ще це різноманіття вкладати.
Re: Паралельний перенос
Все це, звичайно, дуже інваріантної. але я б не радив так вже з порога нехтувати простими і зрозумілими радощами паралельного перенесення в плоскому осяжний просторі. Стрибання через кілька сходинок може бути чревате боком.