Шаблон: Чистити Параметричні поверхні широко використовуються в прикладної геометрії та комп'ютерної графіки для представлення складних поверхонь. Параметризація робить такі поверхні зручними для обробки і відображення.
Класом тривимірних параметричних поверхонь називається функція F, що залежить від k параметрів, що відображає деякий чіткий безліч M з n-мірного простору в тривимірний простір таким чином, що це відображення є поверхнею. Таким чином, функція F визначає клас поверхонь, а набір k параметрів - конкретну поверхню з цього класу. Найбільш практичним є випадок, коли безліч M є одиничним квадратом в двовимірному просторі. В цьому випадку параметричну поверхню можна описати так: (x, y, z) = F (u, v), де u, v ⊂ [0,1]
Далі розглядаються деякі поширені класи параметричних поверхонь.
Параметризація найпростіших поверхонь Правити
Точка і базис з двох неколінеарних векторів в тривимірному просторі визначає площину і відображення на неї двовимірної декартової системи координат. Тим самим визначається uv-параметризация площині (u і v - параметри).
У загальному випадку параметризацію в N-косинці можна ввести використовуючи систему барицентричних координат.
Цей найважливіший окремий випадок N-кутника заслуговує на особливу увагу. Найбільш поширений спосіб параметризації трикутника - лінійне відображення на нього трикутника з uv-простору.
Параметризацію таких поверхонь найзручніше ввести використовуючи відповідно сферичну або циліндричну систему координат.
Криві поверхні Правити
- Білінійну інтерполяційний чотирикутник
Упорядкований набір з 4-х точок в просторі визначає білінійну інтерполяційну поверхню і задає відображення на неї квадрата u, v⊂ [0,1] Ця поверхня є гладкою, проте неможливість задавати довільні дотичні на її кордоні робить її практично непридатною в якості патчів
- Сплайнова поверхню Безьє (Bezier surface)
На практиці застосовується в основному два види поверхонь Безьє: бікубічеськая 3-го порядку - чотирикутник, який визначається 16-ю точками, і барицентрична 3-го порядку - трикутник, який визначається 10 точками. Барицентрична система координат в трикутнику містить 3 числа, тому вона не завжди зручна. Кордон поверхні Безьє складається з кривих Безьє. Точки, що визначають поверхню, визначають також криві її межі, включаючи нормалі на них. Це дозволяє створювати гладкі складові поверхні, тобто використовувати поверхні Безьє як патчів Раціональна поверхню Безьє (rational Bezier surface) відрізняється тим, що кожній точці в її визначенні призначений деякий "вага", що визначає ступінь її впливу на форму поверхні.
- B-сплайнова поверхню (B-spline surface)
На практиці зазвичай застосовуються Бікубічеський B-сплайнів поверхні. Як і поверхні Безьє, вони визначаються 16-ю точками, проте в загальному випадку не проходять через ці точки. Однак B-сплайни зручно використовувати в якості патчів, так як вони добре стикуються один з одним при використанні загальної сітки вершин, а самі вершини дозволяють явно задавати нормалі і дотичні на кордонах патчів. При необхідності більш гнучкого управління формою поверхні застосовують раціональні B-сплайни, неоднорідні B-сплайни (Non-Uniform B-spline) а також комбінований варіант - неоднорідні раціональні B-сплайни (NURBS).