1. Барон Мюнхаузен, повернувшись з кругосвітньої подорожі, розповідає, що по дорозі він перетнув кордон Трапезунд рівно 7 разів. Чи варто довіряти його словам?
Рішення. Зауважимо, що після парного числа перетинів Мюнхаузен перебуватиме з тієї ж сторони від кордону, що і до цього. Оскільки 7 - непарне число, такого бути не могло.
2.
Рішення. Так як кожен раз якісь дві пантери загризали один одного, то після кожного маневру число пантер зменшувалася на 2. В кінці пантер не залишилося, значить, їх було парне число.
3. Коник стрибає по прямій - кожен раз на 1 метр вліво або вправо. Через деякий час він опинився у вихідній точці. Доведіть, що він зробив парне число стрибків.
Рішення. Нехай A - вихідна точка. Зауважимо, що після кожного стрибка відстань до точки A змінює парність. Спочатку відстань між ними дорівнюватиме нулю. Значить, коли він знову потрапить у вихідну точку, він зробить парне число стрибків.
4. З комплекту доміно викинули всі кістки з «пустими». Чи можна кості за правилами викласти в ряд?
Рішення. Зауважимо, що число доміношек без пустушок одно 21. Якщо доміношки вдасться викласти в ряд, то число доміношек з кожним числом точок, крім можливо двох, парне. А це не так.
5. За круглим столом сидять хлопчики і дівчатка. Доведіть, що кількість пар сусідів хлопчик-дівчинка і дівчинка-хлопчик парно.
Рішення. Об'єднаймо кожну групу поспіль сидять хлопчиків в одного хлопчика, а кожну групу поспіль сидять дівчаток в одну дівчинку. Тоді оскільки діти однієї статі поруч тепер не сидять, між ними парне число місць, а, значить, і число необхідних пар парне.
6. Равлик повзе по площині з постійною скороостью, повертаючи на 90 ° кожні 30 хвилин. Доведіть, що вона може повернутися у вихідну точку тільки: а) через ціле число годин; б) через парне число годин.
Рішення. Зауважимо, що для повернення в вихідну точку, потрібно пройти однакову відстань вліво і вправо, а також вгору і вниз. Нехай равлик піднімалася вгору a раз, а вліво - b раз. Тоді вона повзла 2 · 30 · a + 2 · 30 · b = 60 (a + b). Звідси випливає, що вона повзла парне число годин. Оскільки після кожного руху по вертикалі слід рух по горизонталі і навпаки, то числа a і b однієї парності. Значить, равлик повзла парне число годин.
7. На шахівниці стоять 8 тур, з яких ніякі дві не б'ють один одного. Доведіть, що число тур стоять на чорних полях парно.
Рішення. Пронумеруємо числами від 1 до 8 вертикалі зліва направо і горизонталі зверху вниз відповідно. Сумою координат клітини назвемо суму номерів її вертикалі і горизонталі. Тоді нехай у чорних клітин сума координат парна, тоді у білих вона непарна. Зауважимо, що сума координат клітин, на яких стоять 8 тур, парна (вона дорівнює подвоєною сумі чисел від 1 до 8). Але тоді число тур, стояли не білих клітинах, парне (сума координат білої клітини непарна), значить, і число тур на чорних клітинах парне.
8. До 17-значному числу додали число, записане тими ж цифрами, але в зворотному порядку. Доведіть, що хоча б одна цифра отриманої суми парна.
Рішення. Припустимо, що всі цифри суми непарні. Розберемо два випадки.
1) Сума першої та останньої цифри числа менше 10. Ясно, що в цьому випадку не буде жодного переходу через розряд. Дійсно, припустимо в передостанньому розряді відбувся перехід через десяток, але тоді сума першої і останньої цифри парна, що невірно по припущенню. Продовжуючи так далі отримаємо треубемое. Але тоді, складаючи середні цифри чисел, отримаємо парну цифру.
2) Сума першої та останньої цифри числа не менш 10. Тоді отримаємо що перехід через розряд чергується з непереходу через розряд при русі справа наліво. Але тоді в десятому розряді буде переходу, і в дев'ятому розряді складуться дві однакові цифри, тобто вийде парна цифра.