Визначення певного інтеграла
Нехай $ f (x) $ є певним інтегралом на інтервалі $ a \ leq x \ leq b $. Розділимо інтеграл на $ n $ рівних частин довжиною $ \ Delta x = \ frac $. Тоді певний інтеграл $ F (x) $ між $ x = a $ і $ x = b $ визначається за формулою
$ \ Int \ limits ^ b_a f (x) \ dx = \ lim_ $
Межа, безумовно, існує, якщо $ F (х) $ кусочно-безперервна.
Якщо $ f (x) = \ fracg (x) $, тоді основною теоремою інтегрального числення вище певний інтеграл розраховується за допомогою результату
$ \ Int \ limits ^ b_a f (x) \ dx = \ int \ limits ^ b_a \ fracg (x) \ dx = g (x) | ^ b_a = g (b) -g (a) $
Якщо інтервал є нескінченним або якщо $ f (x) $ має сингулярність в деякій точці інтервалу, певний інтеграл називається невласних інтегралом і може бути визначений за допомогою відповідних процедур межі. наприклад:
$ \ Int \ limits_a ^ \ infty f (x) \ dx = \ lim_ \ int \ limits_a ^ b f (x) \ dx $
Загальні формули з певними інтегралами
$ \ Int \ limits_a ^ b \\ dx = \ int \ limits_a ^ bf (x) \ dx \ pm \ int \ limits_a ^ bg (x) \ dx \ pm \ int \ limits_a ^ bh (x) \ dx \ pm \ cdots $
$ \ Int \ limits_a ^ b cf (x) \ dx = c \ int \ limits_a ^ b f (x) \ dx \ qquad \ text \ c \ \ text $
$ \ Int \ limits_a ^ a f (x) \ dx = 0 $
$ \ Int \ limits_a ^ b f (x) \ dx = - \ int \ limits_b ^ a f (x) \ dx $
$ \ Int \ limits_a ^ b f (x) \ dx = \ int \ limits_a ^ c f (x) \ dx + \ int \ limits_c ^ b f (x) \ dx $
Це називається теорема про повну загальну середню для певних інтегралів і дійсна, якщо $ f (x) $ неперервна на $ a \ leq x \ leq b $.
$ \ Int \ limits_a ^ b f (x) g (x) \ dx = f (c) \ int \ limits_a ^ b g (x) \ dx \ qquad \ text \ c \ \ text \ a \ \ text \ b $
Це узагальнення попередньої формули і дійсно якщо $ f (x) $ і $ g (x) $ неперервні на $ a \ leq x \ leq b $ і $ g (x) \ geq 0 $.
Формула Лейбніца диференціювання інтеграла
Наближені формули для обчислення визначених інтегралів
У наступному інтервал від $ x = a $ до $ x = b $ розділений на $ n $ рівних частин точками $ a = x_0, x_2. x_, x_n = b $ і нехай $ y_0 = f (x_0), y_1 = f (x_1), y_2 = f (x_2). y_n = f (x_n), h = \ frac $Формула прямокутників
$ \ Int \ limits_a ^ b f (x) \ dx \ approx h (y_0 + y_1 + y_2 + \ cdots + y _) $
трапециевидная формула
$ \ Int \ limits_a ^ b f (x) \ dx \ approx \ frac (y_0 + 2y_1 + 2y_2 + \ cdots + 2y_ + y_n) $
Формула Сімпсона (або параболічна формула) для парного $ n $
$ \ Int \ limits_a ^ b f (x) \ dx \ approx \ frac (y_0 + 4y_1 + 2y_2 + 4y_3 + \ cdots + 2y_ + 4y_ + y_n) $