2.1. Асоціативна операція ⨀ на безлічі М, якщо:
б) M = ℤ, x⨀y = x 2 + y 2
в) М = ℝ, x⨀y = sinx siny;
г) М = ℝ \, x⨀y = xy x / | x |
2.2. Нехай S - півгрупа матриць виду, де x, у ∈ ℝ, з операцією множення. Чи існують в ній ліві чи праві нейтральні елементи?
2.3. На безлічі М визначена бінарна операція про за правилом х. У = х. Довести, що (М,.) - півгрупа. Що можна сказати про нейтральні елементах цієї напівгрупи? В яких випадках вона є групою?
2.4. Нехай М - довільна множина. На множині M 2 визначена операція. За правилом (x, у). (Z, t) = (x, t). Чи є алгебра (M 2..) Полугруппой? Чи існує в ній нейтральний елемент?
2.5. Привести приклад напівгрупи з лівої одиницею (нейтральним елементом), котра є моноїд.
2.6. Які із зазначених множин квадратних дійсних матриць одного порядку утворюють групу:
а) безліч невироджених матриць щодо множення;
б) безліч невироджених матриць щодо складання;
в) безліч діагональних матриць щодо складання;
г) безліч діагональних матриць щодо множення?
2.7. Довести, що якщо в групі g для будь-якого х ∈ G виконується тотожність х 2 = 1, то група g коммутативна.
2.8. У групі S4 вирішити рівняння:
2.9. Чи є полем безліч чисел виду х + √2у, де x, y ∈ ℚ. зі звичайними операціями додавання і множення?
2.10. Довести, що множина всіх верхніх трикутних матриць фіксованого порядку n є подкольцом кільця всіх квадратних матриць порядку n. Чи вірно це твердження для діагональних і нижніх трикутних матриць?
2.11. Побудувати приклад кільця з одним елементом, тобто такого, в якому 0 = 1.
2.12. Кільце R = (R, +, ⋅, 0, 1) називається булевим. якщо його множення ідемпотентна, тобто х ⋅ х = х для будь-яких х ∈ R. Довести, що:
а) для будь-якого елемента х булева кільця має місце рівність х + х = 0. тобто х = x;
б) будь-булево кільце коммутативно;
в) в будь-якому булевом кільці, що має більше двох елементів (| R |> 2), існують подільники нуля.
2.13. Довести, що (2 M. Δ, ∩, ∅, М) - логічне кільце (див. Задачу 2.12). Довести, що воно ізоморфно ℤ2 при | М | = 1.
2.14. Показати, що безліч залишків від ділення багато- многочленів від змінної х на х 2 + х + 1 з операціями додавання і множення многочленів є кільцем. Чи є це кільце полем?
2.15. Елемент х кільця називають оборотним. якщо існує елемент х 'такий, що х ⋅ х' = х '⋅ x = 1. Елемент х кільця називають оборотним зліва (справа), якщо існує x', такий, що х '⋅ x = 1 (х ⋅ х' = 1). Елемент кільця називається односторонньо оборотним, якщо він звернемо ліворуч або праворуч.
Елемент х ≠ 0 кільця називається лівим (правим) делителем нуля, якщо існує ненульовий елемент кільця у, такий, що х ⋅ у = 0 (у ⋅ х = 0); елемент, який є лівим і правим дільником нуля одночасно, називається дільником нуля.
а) елемент кінцевого кільця звернемо (зліва, справа) тоді і тільки тоді, коли він не є дільником нуля (правим, лівим);
б) в кінцевому кільці і в кільці без дільників нуля будь односторонньо оборотний елемент звернемо;
в) елемент кільця лишків за модулем до звернемо тоді і тільки тоді, коли він взаємно простий з к.
2.16. Нехай R - кільце. Довести, що:
а) якщо твори ху і ух оборотні, то елементи х ту теж оборотні;
б) якщо в R немає дільників нуля і твір ху можна зупинити, тожіу оборотні;
в) якщо R звичайно і твір ху можна зупинити, то х і у оборотні.
У к а з а н і е: використовувати результати завдання 2.15.
2.17. Довести, що множина всіх оборотних елементів кільця (див. Задачу 2.15) утворюють групу з множенню.
2.18. Вирішити систему рівнянь
2.19. З'ясувати, можна вирішити чи в кільці ℤ21 система рівнянь
2.20. Введемо групу S "рухів" (поворотів) окружності як групу, елементами якої є всілякі повороти, вимірювані в радіанах, причому поворот на будь-який кут, кратний 2π, ототожнюється з нульовим поворотом (тотожним відображенням безлічі точок кола в себе).
Довести, що група S ізоморфна фактор-групі ℝ / ℤ, яка, в свою чергу, ізоморфна аддитивной групі S 1 дійсних чисел по модулю 1.
2.21. Нехай М = (G, +, 0. α. Α ∈ R>) -лівий модуль над кільцем R = (R, +, ⋅, 0, 1). Чи є відповідність між елементами а кільця І і відображеннями ша взаємно однозначним? Зокрема, чи завжди нульове відображення визначається тільки нулем кільця R?
У к а з а н і е: розглянути лівий модуль матриць-стовпців виду (х 0) T. х ∈ R, над кільцем верхнетреугольних матриць другого порядку і показати, що відповіді на поставлені питання негативні.