подвійний інтеграл

Завдання, що призводять до подвійних інтегралів

Завдання про обсяг циліндроїда. Розглянемо тіло, обмежене поверхнею z = f (x, y) з повним правом S. лежачим в площині Oxy. і циліндричною поверхнею з котра утворює паралельної осі Oz. і спрямовуючої - лінією, яка є кордоном області S (рис. 1 (а)). Таке тіло називається циліндроїда. Потрібно обчислити об'єм цього циліндроїда.

Щоб вирішити це завдання, розіб'ємо область S (рис. 1 (б)) мережею дуг на кінцеве число елементарних областей (δS1), (δS2), ..., (δSn), площі яких позначимо через δS1. δS2. ..., δSn відповідно. У кожній з елементарних областей (δSk) (k = 1, hellip, n) виберемо довільно одну точку Mk (xk, yk) і значення функції в цій точці f (xk, yk) помножимо на площу області δSk. Твір f (xk, yk) δSk дорівнює обсягу циліндричного тіла з площею підстави δSk і висотою hk = f (xk, yk). Сума всіх таких творів висловлює обсяг Vn ступеневої циліндричного тіла, наближено заміняє циліндроїда, тобто

Позначимо діаметр елементарної області (δSk) через dk. а найбільший з діаметрів - через λn. тобто . Очевидно, якщо λn → 0. то n → ∞.

Об'ємом циліндроїда називається межа обсягу відповідного ступеневої тіла при λn → 0.

Завдання про масу пластинки. Розглянемо область S площині Oxy. обмежену замкнутою лінією в якій розподілено речовина з щільністю p = f (x, y) ≥ 0. Таку область називають платівкою. Потрібно обчислити масу пластинки.

Область S мережею дуг розіб'ємо на елементарні області (δS1), (δS2), ..., (δSn), площі яких позначимо через δS1. δS2. ..., δSn відповідно. Припустимо, що в кожної елементарної області δSk щільність постійна і дорівнює щільності в деякій точці Mk (xk, yk) цієї області, тобто pk = f (xk, yk). Тоді твір f (xk, yk) δSk висловлює наближену масу елементарної пластинки (δSk), а сума всіх таких творів - наближену масу mn всієї пластинки, тобто.

Точне значення маси всієї пластинки отримаємо перейшовши до межі при λn → 0. де λn - найбільший з діаметрів dk області (δSk):.

Таким чином, дві різні завдання привели до розгляду межі однієї і тієї ж двовимірної інтегральної суми. Це дозволяє ввести загальне поняття подвійного інтеграла.

Визначення подвійного інтеграла

Розглянемо функцію z = f (x, y). певну в області S. обмеженою замкнутої лінією. Область S розіб'ємо мережею дуг на n елементарних областей (δS1), (δS2), ..., (δSn), що мають площі δS1. δS2. ..., δSn відповідно. У кожній з елементарних областей (δSk) (k = 1, ... n) виберемо довільно одну точку Mk (xk, yk) і значення функції в цій точці f (xk, yk) помножимо на площу δSk. Складемо суму всіх таких творів

яка називається інтегральною сумою для функції f (x, y) по області S.

Позначимо через dk діаметр елементарної області (δSk). Нехай λn - найбільший з усіх діаметрів, тобто.

Визначення. Число I називається межею інтегральної суми In при λn → 0. якщо для будь-якого числа ε> 0 можна вказати таке число δ> 0 що при λn <δ выполняется неравенство |I-In | <ε независимо от выбора точек Mk (xk ,yk ) в элементарных областях (δSk ).

Визначення. Подвійним інтегралом від функції f (x, y) по області S називається межа її інтегральної суми при λn → 0.

Функція f (x, y) називається підінтегральної функцією, а область S - областю інтегрування.

Подвійний інтеграл від функції f (x, y) по області S позначається також наступним чином:

Затвердження. Межа існує, якщо функція z = f (x, y) неперервна в замкненій області, що має площу.

Якщо існує даний межа, то функція f (x, y) називається інтегрованою в області S.

Таким чином, отримали, що обсяг циліндроїда виражається наступним чином:

Геометричний сенс подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл від функції f (x, y) по області S дорівнює обсягу циліндроїда з основою S і обмеженого зверху поверхнею z = f (x, y).

Також, маса пластинки виражається формулою:

Фізичний сенс подвійного інтеграла. Якщо неотрицательная функція p = f (x, y) висловлює поверхневу щільність пластинки S. то її маса дорівнює подвійному інтегралу від даної функції по даній області S.

Властивості подвійного інтеграла

  • 1) Якщо функції f (x, y) і φ (x, y) інтегровними в області S. то інтегровними в ній і їх сума і різниця, причому
  • 2) Постійний множник можна виносити за знак подвійного інтеграла

  • 3) Якщо f (x, y) інтегрована в області S. а ця область розбита на дві непересічні області S1 і S2. то

  • 4) Якщо f (x, y) і φ (x, y) інтегровними в області S. в якій f (x, y) ≤ φ (x, y). то

  • 5) Якщо f (x, y) інтегрована в області S. то | f (x, y) | також інтегрована в ній, причому

  • 6) Якщо в області (S) функція f (x, y) задовольняє нерівностям m ≤ f (x, y) ≤ M. то

    де S позначає площа області (S).

    • Обчислення подвійного інтеграла в прямокутних декартових координатах

    Випадок прямокутної області. Нехай потрібно обчислити подвійний інтеграл

    де область P є прямокутником, що визначаються нерівностями a ≤ x ≤ b. c ≤ y ≤ d (рис. 2). Припустимо, що f (x, y) ≥ 0 і неперервна в цьому прямокутнику, тоді даний подвійний інтеграл дорівнює обсягу тіла з основою P. обмеженого зверху поверхнею z = f (x, y). з боків - площинами x = a. x = b. y = c. y = d.

    З іншого боку, обсяг тіла, де S (x) - площа перетину даного тіла площиною, що проходить через точку x і перпендикулярній осі Ox.

    Так як розглянутий переріз є криволінійної трапецією, обмеженою зверху графіком функції z = f (x, y). де x - фіксоване, c ≤ y ≤ d. то з геометричного сенсу певного інтеграла маємо:

    Тут інтеграл в правій частині називається повторним інтегралом.

    Отже, обчислення даного подвійного інтеграла звелося до обчислення двох визначених інтегралів; при обчисленні "внутрішнього" інтеграла (в квадратних дужках) x вважається постійним.

    Зауваження. Ця формула вірна для будь-якої функції f (x, y).

    Повторний інтеграл позначається так:

    Аналогічно можна показати, що

    тобто результат інтегрування не залежить від порядку інтегрування.

    Схожі статті