Безліч - одне з основних понять сучасної математики, що використовується майже у всіх її розділах.
У багатьох питаннях доводиться розглядати деяку сукупність елементів як єдине ціле. Так, біолог, вивчаючи тваринний світ і рослинний світ даної області, класифікує всі особини за видами, види за родами. Кожен вид є деякою сукупністю живих істот, що розглядається як єдине ціле.
Для математичного опису таких сукупностей і було введено поняття множини. За словами одного з творців теорії множин - німецького математика Георга Кантора (1845-1918), «безліч є багато, мислиме нами як ціле». Зрозуміло, ці слова не можуть розглядатися як математично строге визначення безлічі, такого визначення не існує, оскільки поняття безлічі є вихідним, на основі якого будуються інші поняття математики. Але з цих слів ясно, що можна говорити про безліч чисел від 1 до 10, натуральних числах, безлічі трикутників і квадратів на площині.
Поняття множини є одним з основних понятійматематікі і тому не визначається через інші. Його можна пояснити на прикладах. Так, можна говорити про безліч учнів деякого класу, про безліч голосних букв російського алфавіту, про безліч натуральних чисел.
Математичний зміст слова «безліч» відрізняється від того, як воно використовується в звичайній мові, де його пов'язують з великою кількістю предметів. В математиці цього не потрібно. Тут розглядають безліч, що складається з одного об'єкта, і безліч, що не містить жодного об'єкта.
В основному безлічі позначають буквами латинського алфавіту: A, B, C, ..., Z, L.
Визначення. Безліч, що не містить жодного об'єкта, називають порожнім і позначають знакомÆ.
Визначення. Об'єкти, з яких утворено безліч, називають його елементами.
Елементи безлічі прийнято позначати малими літерами латинського алфавіту: a, b, c, ..., z.
У математиці та інших науках нерідко доводиться з'ясовувати, належить який-небудь об'єкт, що розглядається безлічі або не належить. Наприклад, ми говоримо, що число 5 натуральне. Іншими словами, число 5 належить множині натуральних чисел. Або, наприклад, число 0,45 не є натуральним числом. Це означає, що число 0,45 не належить безлічі натуральних чисел.
Пропозиція виду "Об'єкт а належить множині А" можна записати, використовуючи символи: аÎА. Прочитати його можна по-різному:
Об'єкт а належить множині А.
Об'єкт а - елемент безлічі А.
Безліч А містить елемент а.
Пропозиція "Об'єкт а не належить множині А" можна записати так: а Ï А. Його читають:
Об'єкт а не належить множині А.
Об'єкт а не є елементом множини А.
Безліч А не містить елемента а.
Нехай А - безліч однозначних чисел. Тоді пропозиція "7ÎА "можна прочитати:" Число 7 однозначне ", а запис" 14Ï А "означає:" Число 14 не є однозначним ".
Безлічі бувають кінцевими і нескінченними. Так, безліч днів тижня звичайно, а безліч точок прямої нескінченно. Нескінченними множинами є і такі множини, як безліч натуральних чисел (N), безліч цілих чисел (Z), безліч раціональних чисел (Q), безліч дійсних чисел (R).