Якщо для рівняння першого порядку загальне рішення містить одну довільну постійну, то для рівняння п-го порядку загальне рішення залежить від п довільних постійних:.
Визначення. Функція називається загальним рішенням рівняння (1), якщо виконуються дві умови:
1) ця функція задовольняє рівнянню (1) при будь-яких значеннях постійних;
2) При заданих початкових умовах постійні можна підібрати таким чином, щоб ці початкові умови виконувалися.
Поняття приватного рішення рівняння
Визначення. Приватним рішенням рівняння (1) називається будь-який його рішення, яке виходить із загального при конкретних значеннях постійних.
Найпростішим рівнянням п -го порядку є рівняння:.
Його спільне рішення знаходиться шляхом п - кратного послідовного інтегрування обох частин рівняння.
7. Рівняння, що допускають зниження порядку
Одним з основних методів інтегрування диференціальних рівнянь вищих порядків є метод пониження порядку рівняння.
Розглянемо на прикладі рівняння другого порядку: (1)
Випадок I. Нехай ліва частина рівняння (1) не містить явно шуканої функції, тобто не містить у і має вигляд: (2)
В цьому випадку зниження порядку проводиться за допомогою підстановки:
Підставляючи і в (2) порядок знизиться.
Випадок II. Нехай ліва частина рівняння (1) не містить явно незалежну змінну х. тобто (3)
Тоді зниження порядку досягається підстановкою.
Диференціювання цієї рівності по х проводиться за правилом складної функції, тобто , Але, отже,, тоді.
Випадок III. Проміжний інтеграл.
Може виявитися так, що ліва частина рівняння (1) є повною похідною по х від деякого виразу, тобто
. Тоді рівняння набуває вигляду:
Інтегруючи обидві частини рівняння, знайдемо проміжний інтеграл, при цьому порядок рівняння знизиться на одиницю.
Рішення. Випишемо ліву частину окремо:
це є проміжний інтеграл;
8. Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків
Визначення. Диференціальне рівняння називається лінійним. якщо воно першого ступеня щодо шуканої функції і його похідних.
Визначення. Лінійним неоднорідним диференціальним рівнянням п - го порядку називається рівняння виду:
де функції звані коефіцієнтами, і функція звана правою частиною рівняння, визначені в деякому інтервалі.
Якщо, то поділивши все рівняння на, одержимо: (1)
Якщо, то отримаємо рівняння: (2), яке називається лінійним однорідним рівнянням, відповідним даному неоднорідному рівняння (1).
Наприклад, дано рівняння. Однорідним буде:.
9. Властивості розв'язків лінійного однорідного рівняння