Припустимо, що протягом кожного періоду грошові надходження відбуваються дуже часто, так що проміжки між послідовними надходженнями є нескінченно малі величини. Прикладом можуть служити страхові виплати, виручка від продажів у великому торговому підприємстві і т.п. В цьому випадку можна говорити про безперервне надходження доходів і визначити безперервний ануїтет.
Розглянемо найпростішу ситуацію, коли грошові надходження відбуваються безперервно з постійною інтенсивністю: одне і те ж кількість грошових надходжень в одиницю часу. Такий безперервний ануїтет називається постійним і характеризують його співвідношення можна вивести з формул для p -Термінова ануїтету, переходячи в них до межі при і кілька модифікуючи велічінуС члена ануїтету. Ясно, що безперервно не може надходити величина С. тому через будь-який малий проміжок часу накопичиться нескінченно велика сума грошей і майбутня вартість ануїтету нескінченно зросте. Нехай в кінці кожного базового періоду p -Термінова ануїтету сумарна величина грошових надходжень дорівнює Ā. тоді кожне надходження дорівнюватиме і формула (4.4) набуде вигляду:
.
Звідси отримаємо формулу для оцінки майбутньої вартості постійного безперервного ануїтету:
Скориставшись співвідношенням для ануїтету пренумерандо, ми отримали б ту ж саму формулу, тому що в безперервному випадку зникає різниця між аннуітетами постнумерандо і пренумерандо.
Наведена вартість безперервного ануїтету складе:
Завдання. Протягом 6 років на рахунок в банку щодня будуть надходити однакові платежі, щороку складаючи в сумі 40 000 руб. Визначити суму, накопичену до кінця шостого року при використанні процентної ставки 12% річних.
Вважаємо, що платежі надходять безперервно.
Порівняємо це значення з отриманим за формулою (4.4), вважаючи, що в році 360 днів:
Отримані величини відрізняються незначно.
Завдання. Деякий родовище корисних копалин буде розроблятися протягом 8 років, при цьому очікується, що доходи від експлуатації родовища складуть в середньому 300 млн руб. на рік. Оцінити наведену вартість очікуваного доходу при використанні складної процентної ставки 20% річних і в припущенні, що відвантаження і реалізація продукції будуть неперервні і рівномірні.
В якості першого наближення можна розглядати одержуваний грошовий потік як постійний ануїтет постнумерандо з С = 300 млн, терміном n = 8 і періодом, рівним 1 року.
У відповідності до розділу завдання більш точний результат отримаємо, вважаючи, що протягом року кожен квартал дохід складе (млн руб.). ПолагаяС = 75, р = 4, n = 8, i = 20%, отримаємо:
Оскільки реалізація передбачається рівномірної, то краще вважати, що дохід надходить щодня. Простіше за все не розбивати рік на рівні тимчасові періоди, а вважати потік доходів постійним безперервним аннуитетом з інтенсивністю Ā = 300 млн руб. на рік:
З наведених розрахунків наочно видно, як збільшується значення наведеної вартості при скороченні періоду між грошовими надходженнями.
Якщо відсотки нараховуються m раз за період, то з (4.5) отримуємо формули:
Переходячи в правій частині рівності (7.3) до межі при, знаходимо майбутню вартість постійного безперервного ануїтету:
де δ - сила росту при безперервному нарахуванні відсотків.
Формулу (7.5) можна було б отримати з (4.5), визначаючи спочатку межа при (тобто переходячи до безперервного нарахування відсотків), а потім визначаючи межу при (тобто. Переходячи до безперервним грошовим надходженням).
Помноживши на, отримаємо наведену вартість постійного безперервного ануїтету з безперервним нарахуванням відсотків:
Наведена вартість відстроченого на h періодів безперервного ануїтету складе:
Завдання. Фірма очікує отримати при реалізації своєї продукції за рік 100 000 руб. Передбачається, що продукція протягом року буде продаватися більш-менш рівномірно. Оцінити очікувані грошові надходження, якщо застосовується безперервна ставка 15% в рік.
Оскільки в умові йдеться про більш-менш рівномірний розподіл продажів протягом року, то логічно припустити, що інтенсивність потоку виручки буде в якійсь мірі постійною величиною, що дорівнює 100 000 руб. за рік. Вважаючи, що грошові надходження відбуваються безперервно, визначимо майбутню і наведену вартості безперервного ануїтету:
При визначенні можна було скористатися вже знайденим значенням:
* Безперервний грошовий потік.
Ми розглянули випадок, коли грошові надходження відбуваються з постійною інтенсивністю. Обговоримо більш загальну ситуацію. Розглянемо інтервал часу і позначимо черезденежное надходження, що відбувається в момент часу t. Тоді за час приріст грошових надходжень складе велічіну-, а середня швидкість зміни величини грошових надходжень за времябудет дорівнює. Цю величину назовёмсредней інтенсивністю грошових надходжень (грошового потоку) на проміжку. Миттєву інтенсивність потоку в момент часу t можна визначити як межу середньої інтенсивності при:
.
Величина називаетсяінтенсівностью грошового потоку в момент часу t.
Нехай інтенсивність грошового потоку відома. Розіб'ємо точкамівесь периодную велике чіслоN інтервалів. Позначимо .Пренебрегая різночасністю грошових надходжень протягом короткого проміжку часу, можна вважати, що сума грошових надходжень на цьому інтервалі приблизно дорівнює. Якщо використовується складна процентна ставкаi. то наближене значення наведеної вартості грошового потоку на момент часу t = 0 дорівнює:
.
Цей вислів є інтегральна сума, тому, переходячи в ньому до межі при, отримаємо:
Якщо замість процентної ставки i застосовується сила зростання δ. то, вважаючи, отримаємо:
Майбутня вартість безперервного грошового потоку при застосуванні ставок i і δ відповідно дорівнює:
На практиці при оцінці фактично безперервно (дуже часто) відбуваються грошових надходжень їх апроксимують деякими, як правило, безперервними функціями. Нерідко вдається використовувати лінійні і показові функції.
Якщо доходи з плином часу мають однакове абсолютна зміна (приріст або зменшення), то представляють лінійною функцією
=,
Якщо ж доходи мають постійне відносне зміна, то рекомендується записувати у вигляді
=.
Завдання. Розрахунки показують, що в результаті інвестиційних витрат буде забезпечений протягом 6 років безперервний потік доходів, лінійно зростаючий за часом і щорічно збільшується на 60 млн руб. Оцінити можливу величину інвестицій в умовах застосування складної процентної ставки 20% річних.
Щоб визначитися в розмірі інвестиційних витрат, можна знайти наведену вартість потоку доходів. Оскільки інтенсивність потоку виражається лінійною функцією, то млн руб. на рік,.
Якщо інвестиційні витрати складають менше 539,236 млн руб. то участь в проекті можливо.
Визначимо майбутню вартість потоку доходів:
У загальному випадку потік на часовому відрізку може мати змішаний вид: деякі рентні платежі надходять дискретно, а на деяких інтервалах часу надходження платежів можна вважати безперервним. Наведена вартість такого змішаного грошового потоку визначається комбінацією відповідних формул.
* Розглянемо приклад безперервної ренти з практики. Але попередньо запишемо вартість кінцевої безперервної ренти в припущенні, що гроші вносяться нерівномірно. Нехай розглядається проміжок часу в n років і в інтервалі часу вноситься сума, десь деяка дійсна функція. Тоді наведену та майбутню вартості такої ренти на інтервалеможно записати у вигляді:
.
Припустимо, що магістральний ділянку великий 8-рядної автодороги знаходиться «на госпрозрахунку». Причому всі вступники від учасників дорожнього руху кошти в той же день переводяться на деякий довгостроковий рахунок з постійною ставкою. У цій ситуації без особливої натяжки можна вважати, що гроші надходять безперервно. Пунктів збору оплати проїзду на 200-кілометровому відрізку автодороги близько 100, і в кожному свій інтервал часу, в який цей пункт і повинен перерахувати зібрані кошти. Таким чином, що надходять на даний рахунок в кожен конкретний момент гроші дуже мала частка від всієї зібраної за день суми, а самі моменти перекладу досить щільно розподілені протягом доби.
Спробуємо грубо визначити дохід від експлуатації цієї дороги в майбутнє 10-річчя, тобто вартість відповідної ренти. Припустимо для цього, що протягом майбутніх 10 років:
щорічна банківська ставка буде залишатися постійної на рівні i = 0,04;
вартість 1 т · км також буде однаковою і рівною 0,1;
зростання вантажообігу в залежності від часу можна визначити функцією;
нехай, крім того, відома оцінка сумарного вантажообігу за останній рік: 1 млн т · км.
Оскільки обраною ставкою відповідає δ = 0,0392, знайдемо наведену та майбутню вартості ренти за 10 років:
Зауваження. Можливо, більш природною є ситуація, коли припущення про зростання вантажообігу залишається колишнім, але дані по ньому за минулий рік відсутні. В цьому випадку їх можна замінити, наприклад, оцінкою по вантажообігу за перший майбутній рік, скажімо величиною b. Тоді практично нічого не змінюється. Тільки попередньо доведеться знайти відсутню величину a вантажообігу за минулий рік по b з рівняння
,
використовуючи, наприклад, відоме співвідношення