поточкова збіжність

Цей термін має також інші значення див. Збіжність.

В математиці. поточкова збіжність послідовності функцій на безлічі - це вид збіжності. при якому кожній точці даного безлічі ставиться у відповідність межа послідовності значень елементів послідовності в цій же точці.

Функція, що визначається таким чином, називається граничною функцією даної послідовності або її поточечной межею. при цьому йдеться, що дана послідовність сходиться поточечно до граничної функції.

Сильніший вид збіжності - рівномірна збіжність. якщо функціональна послідовність сходиться рівномірно. то ця послідовність також сходиться і поточечно. але не навпаки. Для того, щоб поточечной межа послідовності функцій був рівномірним, повинен виконуватися критерій Коші.

Поняття поточечной збіжності природним чином переноситься на функціональні сімейства і функціональні ряди.

визначення

нехай $\backslash \backslash >\; \_\; ^$ - послідовність функцій виду $f\_n\; \backslash \; colon\; X\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb$ ($n\; =\; 1,2,\; \backslash \; dots$) де $X$ - область визначення, єдина для всіх функцій сімейства.

зафіксуємо точку $x\; \backslash \; in\; X$ і розглянемо числову послідовність виду $\backslash \; (X)\; \backslash >\; \_\; ^$.

Якщо у цій послідовності є (кінцевий) межа, то точці $x$ можна зіставити межа цієї послідовності, позначивши його $f\; (x)$:

Якщо розглянути все точки безлічі $E\; \backslash \; subset\; X$, в яких заданий ліміт існує, то можна визначити функцію $f\; \backslash \; colon\; E\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb$.

Таким чином певна функція називається поточечной межею послідовності функцій сімейства $\backslash \backslash >\; \_\; ^$ на безлічі $E$:

$f\_n\; \backslash \; to\; f\; \backslash \; quad\; \backslash \backslash \; Leftrightarrow\; \backslash \; left\; (\backslash \; forall\; x\; \backslash \; in\; E\; \backslash \; quad\; f\_n\; (x)\; \backslash \; to\; f\; (x)\; \backslash \; quad\; n\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\; \backslash \; right)$,

а про саме сімейство $\backslash \backslash >\; \_\; ^$ кажуть, що воно поточечно сходиться до функції $f$ на безлічі $E$.

Концепція поточечной збіжності в деякому сенсі контрастує з поняттям рівномірної збіжності. конкретно,

Це твердження більш сильно, ніж твердження поточечной збіжності: кожна рівномірно сходиться функціональна послідовність сходиться поточечно до тієї ж граничної функції, однак зворотне, взагалі кажучи, невірно. наприклад,

$\backslash \; Lim\_\; x\; ^\; n\; =\; 0$ поточечно на інтервалі [0,1), але не рівномірно на інтервалі [0,1).

Поточечной межа послідовності безперервних функцій може не бути безперервною функцією, але тільки в тому випадку, якщо збіжність одночасно не є і рівномірною. Наприклад, функція

приймає значення 1, якщо x ціле, і 0, якщо x не є цілим, і тому не є безперервною для цілих чисел.

Значення функції fn не повинні обов'язково бути дійсними, а можуть належати будь-якій топологічному простору з тим, щоб концепція поточечной збіжності мала сенс. З іншого боку, рівномірна збіжність не має, взагалі кажучи, сенсу для функцій, які приймають значення в топологічних просторах, однак має сенс в тому окремому випадку, коли топологічний простір забезпечено мірою.

Поточкова збіжність така ж, як збіжність в топології твори на просторі YX. Якщо Y компакт. то, за теоремою Тихонова. простір YX також компакт.

В теорії міри

В теорії міри вводиться поняття збіжності майже всюди послідовності вимірних функцій. визначених на вимірному просторі. яке означає збіжність майже всюди. Теорема Єгорова стверджує, що поточкова збіжність майже всюди на безлічі кінцевої заходи тягне рівномірну збіжність на безлічі лише трохи меншому.

Напишіть відгук про статтю "поточечной збіжність"

Уривок, що характеризує поточечной збіжність

Князь Василь переконливо глянув на П'єра. - Мені з хороших джерел відомо, що овдовіла імператриця приймає жвавий інтерес у всій цій справі. Ти знаєш, вона дуже милостива до Елен.
Кілька разів П'єр збирався говорити, але з одного боку князь Василь не допускав його до цього, з іншого боку сам П'єр боявся почати говорити в тому тоні рішучої відмови і незгоди, в якому він твердо зважився відповідати своєму тестю. Крім того слова масонського статуту: «буди ласкавий і привітний» згадувалися йому. Він кривився, червонів, вставав і опускався, працюючи над собою в найважчому для нього в житті справі - сказати неприємне в очі людині, сказати не те, чого очікував ця людина, хто б він не був. Він так звик коритися цьому тону недбалої самовпевненості князя Василя, що і тепер він відчував, що не в силах буде протистояти їй; але він відчував, що від того, що він скаже зараз, буде залежати вся подальша доля його: чи піде він за старою, колишньої дорозі, або по тій новій, яка так привабливо була вказана йому масонами, і на якій він твердо вірив, що знайде відродження до нового життя.
- Ну, мій милий, - жартівливо сказав князь Василь, - скажи ж мені: «так», і я від себе напишу їй, і ми вб'ємо жирного тільця. - Але князь Василь не встиг договорити свого жарту, як П'єр зі сказом в особі, яке нагадувало його батька, не дивлячись у очі співрозмовнику, промовив пошепки:
- Князь, я вас не кликав до себе, йдіть, будь ласка, йдіть! - Він схопився і відчинив йому двері.
- Ідіть же, - повторив він, сам собі не вірячи і радіючи висловом збентеження і страху, показати на обличчі князя Василя.
- Що з тобою? Ти хворий?
- Ідіть! - ще раз промовив тремтячий голос. І князь Василь мав поїхати, не отримавши ніякого пояснення.
Через тиждень П'єр, попрощавшись з новими друзями масонами і залишивши їм великі суми на милостині, поїхав у свої маєтки. Його нові брати дали йому листи до Києва і Одеси, до тамтешніх масонам, і обіцяли писати йому і керувати його в його новій діяльності.

Справа П'єра з Долоховим було зам'ято, і, незважаючи на тодішню строгість государя щодо дуелей, ні обидва супротивники, ні їх секунданти не постраждали. Але історія дуелі, підтверджена розривом П'єра з дружиною, та й розголосили в суспільстві. П'єр, на якого дивилися поблажливо, зверхньо, ​​коли він був незаконним сином, якого пестили і прославляли, коли він був кращим женихом Російської імперії, після свого одруження, коли нареченим і матерям нічого було очікувати від нього, сильно втратив у тому суспільства, тим більше , що він не вмів і не бажав підлещуватися громадського благовоління. Тепер його одного звинувачували в те, що сталося, говорили, що він безглуздий ревнивець, схильний до таким же нападів кровожерного сказу, як і його батько. І коли, після від'їзду П'єра, Елен повернулася в Петербург, вона була не тільки радо, але з відтінком шанобливості, ставилася до її нещастя, прийнята всіма своїми знайомими. Коли розмова заходила про її чоловіка, Елен приймала гідне вираження, яке вона - хоча і не розуміючи його значення - по властивому їй такту, засвоїла собі. Вираз це говорило, що вона зважилася, що не скаржачись, переносити своє нещастя, і що її чоловік є хрест, посланий їй від Бога. Князь Василь відвертіше висловлював свою думку. Він знизував плечима, коли розмова заходила про П'єра, і, вказуючи на лоб, говорив:
- Un cerveau fele - je le disais toujours. [Напівбожевільний - я завжди це говорив.]
- Я вперед сказала, - говорила Ганна Павлівна про П'єра, - я тоді ж зараз сказала, і перш за всіх (вона наполягала на своєму першості), що це божевільний хлопець, зіпсований розпусними ідеями століття. Я тоді ще сказала це, коли всі захоплювалися їм і він тільки приїхав з за кордону, і пам'ятайте, у мене як то ввечері вдавав із себе якогось Марата. Чим же скінчилося? Я тоді ще не бажала цього весілля і передбачила все, що трапиться.
Анна Павлівна, як і раніше давала у себе в вільні дні такі вечори, як і раніше, і такі, які вона одна мала дар устроівать, вечори, на яких збиралася, по-перше, la creme de la veritable bonne societe, la fine fleur de l ' essence intellectuelle de la societe de Petersbourg, [вершки справжнього хорошого суспільства, колір інтелектуальної есенції петербурзького суспільства,] як говорила сама Анна Павлівна. Крім цього витонченого вибору суспільства, вечори Ганни Павлівни відрізнялися ще тим, що всякий раз на своєму вечорі Ганна Павлівна подавала своєму суспільству яке-небудь нове, цікаве обличчя, і що ніде, як на цих вечорах, не висловлювався так очевидно і твердо градус політичного термометра, на якому стояло настрій придворного легітимістські петербурзького суспільства.