де - радіус-вектор точки поверхні.
Лінія на поверхні, заданої параметрично, дається цими ж рівняннями, якщо α і β - функції одного параметра. Лінії α = const, β = const утворюють на поверхні мережу криволінійних координат. Квадрат диференціала ds довжини дуги лінії на поверхні можна представити у вигляді
Вираз Edα 2 + 2Fdαdβ + Gdβ 2 називається першою квадратичною формою поверхні.
Якщо поверхня задана рівнянням (I) або (II), то рівняння дотичної площини відповідно буде
Якщо ж поверхня задана рівняннями (III) або рівнянням (IV), то рівняння дотичної площини
де М (х, у, z) - точка дотику; X, Y, Z - поточні координати дотичної площини.
Рівняння нормалі до поверхні, заданої рівнянням (I), має вигляд
Диференціал площі поверхні dσ визначається за формулою
Нехай поверхня задана рівнянням (IV), а, - одиничні вектори (орти), дотичні до ліній α (β = const), β (α = const) і спрямовані в сторони зростання параметрів α, β, (, збігаються за напрямком з векторами ,). Позначимо через одиничний вектор нормалі до поверхні, спрямований в кожній її точці так, що орти,, утворюють праву систему.
Розглянемо будь-яку лінію L1. проведену на поверхні через її точку M1. Нехай К - кривизна лінії в точці M1. а - одиничний вектор головної нормалі до цієї лінії в точці М1 спрямований в бік угнутості лінії. Проекція вектора кривизни Kv на напрямок вектора в точці М1 називається нормальної кривизною лінії L1 в точці М1. Лінія на поверхні, у якій в кожній точці нормальна кривизна дорівнює нулю, називається асимптотичної лінією.
Якщо через точку М1 поверхні провести нормальне перетин (площиною, що проходить через нормаль до поверхні в точці M1), то вийде плоска лінія, у якій в точці M1 вектор головної нормалі збігається з вектором або протилежний йому. Тому кривизна нормального перетину збігається або відрізняється тільки знаком від нормальної кривизни Kn цього перетину. Величина Kn визначається за формулою
Вираз Ldα 2 + 2Mdαdβ + Ndβ 2 називається другий квадратичною формою поверхні. Знак величини Кn визначається знаком другої квадратичної форми (оскільки перша квадратична форма дорівнює ds 2 і, отже, позитивна).
Центр кривизни похилого перерізу поверхні збігається з проекцією на його площину центру кривизни нормального перетину, що має загальну дотичну з похилим перерізом. Якщо R - радіус кривизни нормального перетину, то радіус кривизни ρ похилого перерізу можна визначити з рівності ρ = RcosX (,), де - одиничний вектор головної нормалі лінії, утвореної похилим перерізом, a - одиничний вектор нормалі до поверхні (і беруться в тій точці поверхні, через яку проведено обидва перетину).
Серед всіляких нормальних перетинів поверхні, що проходять через її точку М, є два перетину, утворених взаємно перпендикулярними площинами, для яких Кn приймає найбільше і найменше значення. Ці два перетину називаються головними нормальними перетинами, а відповідні їм значення Кn називаються головними кривизнами поверхні і позначаються K1. К2. Величини R1 = 1 / K1. R2 = 1 / К2 називаються головними радіусами кривизни поверхні. Величини К1. К2 знаходяться як корені квадратного рівняння
Напрямки дотичних до головних нормальних перетинах поверхні називаються головними напрямками на поверхні. Лінія на поверхні, в кожній точці якої дотична має головний напрямок, називається лінією кривизни. Через кожну точку поверхні проходять дві взаємно ортогональні лінії кривизни. Тому зручно вибирати криволінійні координати α, β так, щоб лінії α, β були б лініями кривизни. величини
називається середньої і гаусом (повної) кривизнами поверхні.
Точка поверхні, в якій K1 і К2 мають однакові знаки (К> 0) називається еліптичної; в цій точці LN-М 2> 0. У більш окремому випадку, коли в точці поверхні К1 = К2. ця точка називається омбіліческой, а коли K1 = K2 = 0 - точкою сплощення. Точка поверхні, в якій K1 і К2 мають різні знаки (К<0), называется гиперболической; в этой точке LN-М 2 <0. Точка, в которой одна из величин К1. К2 равна нулю (К=0), называется параболической: в ней LN-M 2 =0.
Через кожну точку поверхні в будь-якому напрямку проходить геодезична лінія, яка визначається тим, що в кожній її точці головна нормаль цієї лінії збігається з нормаллю до поверхні. Геодезична лінія на поверхні має властивість прямої лінії на площині: з всіляких ліній на поверхні, що проходять через дві довільні точки, найкоротшу дугу, що сполучає ці точки, має геодезична лінія.
Багато будівельні конструкції мають обриси поверхонь обертання або поверхонь переносу.
Поверхня обертання утворюється обертанням плоскої лінії (що утворює або меридіана) навколо осі. Лінія перетину поверхні обертання з площиною, перпендикулярній осі обертання, є окружність, звана паралеллю. Нехай вісь обертання прийнята за координатну вісь Z. Якщо меридіан, розташований в площині XOZ, заданий рівняннями х = х (α), z = z (α), де α - довжина дуги меридіана, яка відлічується від вибраної початкової точки, то сама поверхня обертання визначається рівняннями x = R (α) cos β, у = R (α) sin β, z = z (α). У цих рівняннях: R (α) = x (α) - радіус паралелі, що проходить через точку М (х, у, z) даної поверхні, а β - кут між площиною XOZ і площиною, що проходить через вісь Z і точку М. Коли поверхню обертання задана зазначеними рівняннями, маємо
Поверхнею перенесення називається поверхня, що описується лінією (виробляє), яка переміщується в просторі, залишаючись паралельною самій собі (два положення лінії називаються паралельними, якщо одне з них виходить з іншого в результаті зсуву кожної точки лінії на один і той же вектор - вектор переносу) . При переміщенні виробляє будь-яка її фіксована точка М0 викреслює лінію. Тому можна вважати, що виробляє, переміщаючись в просторі, спирається своєю точкою М0 на деяку лінію, звану направляючої.
- векторні рівняння відповідно виробляє і направляє поверхні переносу. Тоді рівняння самої поверхні переносу з точністю до постійного вектора буде
або в іншому вигляді