Список використаної літератури
У обчислювальної математики істотну роль грає інтерполяція функцій, тобто побудова за заданою функції іншої (як правило, більш простий), значення якої збігаються зі значеннями заданої функції в деякому числі точок. Причому інтерполяція має як практичне, так і теоретичне значення. На практиці часто виникає завдання про відновлення неперервної функції по її табличних значень, наприклад отриманим в ході деякого експерименту. Для обчислення багатьох функцій, виявляється, ефективно наблизити їх поліномами або дрібно-раціональними функціями. Теорія інтерполяції використовується при побудові та дослідженні квадратурних формул для чисельного інтегрування, для отримання методів розв'язання диференціальних та інтегральних рівнянь.
У нашому випадку для більш повного розкриття цієї теми докладно розглянемо для початку саме поняття інтерполяції, далі інтерполювання безпосередньо гладкої функції і інтерполювання гладкої функції в точці.
Мета роботи: вивчення інтерполяції гладких функцій і практичне застосування інтерполяції функцій.
1. Постановка завдання інтерполяції
інтерполяція похибка поліном
1.1 Визначення терміна інтерполяції
Нехай для функції f (x), визначеної на будь - якої частини R, відомі її значення на деякому кінцевому безлічі точок x1
, x2
, ..., xn
Î [A, b], і в цих точках функція f (x) визначена як:
Потрібно обчислити, хоча б наближено, значення при всіх x.
Таке завдання може виникнути при проведенні різних експериментів, коли значення шуканої функції визначаються в дискретні моменти часу, або в теорії наближення, коли складна функція порівняно просто обчислюється при деяких значеннях аргументу, для функцій заданих таблицею або графічно і т.п.
Зазвичай функцію g (xi
), Xi
Î [A, b]. за допомогою якої здійснюється наближення, знаходять так, щоб:
Такий спосіб наближення називають інтерполяцією або интерполированием. точки x1
, x2
, ..., xn
називають вузлами інтерполяції, якщо точка x, в якій обчислюється f (x), лежить поза відрізка [a, b], то вживають термін екстраполяції. Функцію g (xi
). називають інтерполянтом.
При цьому слід відповісти на наступне питання.
1.2 Як вибрати інтерполянт
Такі функції будуються на основі комбінацій з елементарних функцій.
- фіксована лінійно незалежна система, а () - поки невідомі параметри.
Математична постановка задачі інтерполяції полягає в наступному. нехай R
- простір дійсних функцій, визначених на відрізку [a, b], і - задана кінцева або рахункова система функцій з R
, така, що їх будь-яка кінцева підсистема є лінійно-незалежною. Для даної кінцевої сукупності точок x1
, x2
, ..., xn
(xi
≠ xj
при i ≠ j), що належать відрізку [a, b], і цю функцію f (x) з R
знайти функцію # 966 ;, що є лінійною комбінацією функцій так, щоб в заданих точках значення f і # 966; збігалися. Іншими словами, визначити константи a1
, a2
, ..., an
так щоб
Абсолютно ясно, чому число коефіцієнтів має збігатися з числом вузлів інтерполяції xi
. Це потрібно для того, щоб матриця системи була квадратної (тобто число невідомих збігалося б з числом умов, з яких перебувають ці невідомі). Крім того, для однозначної розв'язності даної системи (при довільній правій частині) необхідно і достатньо, щоб їх визначник був різниться від нуля, тобто .:
Природно, інтерполянт необхідно побудувати у вигляді більш легкої облікової функції, тому за часто беруть такі системи як:
1.3 поліномінальної інтерполяція
Якщо є ступенями, ..., хn
>, То говорять про алгебраїчної інтерполяції, а функцію називають інтерполяційним поліномом і позначимо як:
то можна побудувати інтерполяційний поліном ступеня n і до того ж тільки один.
Знайдемо інтерполяційний поліном з виду (4). У цей час, на основі (5), для знаходження невизначених коефіцієнтів використовуємо систему лінійних рівнянь:
В цьому випадку визначник системи лінійних алгебраїчних рівнянь виглядає так:
Цей визначник є визначником Вандермонда і відрізняється від нуля в разі, коли всі вузли xi
різні. Оскільки матриця системи невирождени, то рішення системи існує і єдино.
Единственность інтерполяційного полінома можна довести таким способом. Припустимо, що є два інтерполяційних полінома
так, виходить протиріччя. Единственность встановлена. А так як поліном єдиний, то у відповідній системи лінійних алгебраїчних рівнянь є тільки одне рішення.
1.4 Інтерполяційний поліном Лагранжа
Зараз перед нами завдання, яке складається з знаходження такого многочлена, ступеня n, який збігається із заданою f (x) в точках x1
, x2
, ..., xn
Î [A, b], тобто щоб виконувалося рівність
Щоб вирішити це завдання, введемо многочлени ступені n, які в точках при i ≠ j дорівнюють нулю, а в точці при i = j дорівнюють одиниці. Очевидно, що:
де постійна А знаходиться з умови fj
(xj
) = 1, тоді
Таким чином, отримуємо, що
Отримуємо, що поставлене завдання вирішує многочлен