Предмет теорії ймовірності - розділ Математика, Виникнення математики випадкового відноситься до середини 18 століття і пов'язане зі спробою створення теорії азартних ігор, особливо в кістки Будь-яка Наука Вивчає Чи не Самі Явища, що протікають В Природі, В Товаристві, А Їх.
Будь-яка наука вивчає не самі явища, які відбуваються в природі, в суспільстві, а їх математичні моделі, тобто опис явищ за допомогою набору строго певних символів і операцій над ними.
При цьому для побудови математичної моделі реального явища в багатьох випадках досить враховувати тільки основні чинники, закономірності, які дозволяють передбачити результат досвіду по його заданим початковим умовам. Виявлені закономірності явища називають детермініческімі (опреленного).
Однак є безліч завдань, для вирішення яких доводиться враховувати і випадкові чинники, які надають результату досвіду елемент невизначеності. Наприклад в питаннях стрільби по цілі неможливо без урахування випадкових факторів відповісти на питання: скільки ракет потрібно витратити для ураження цілі? Неможливо передбачити яка сторона випаде при киданні монети? Скільки років проживе народився сьогодні дитина? Скільки студентів запізняться на лекцію з теорії ймовірності? І т.д. Такі завдання, результат яких не можна передбачити з повною упевненістю, вимагають вивчення не тільки основних, головних закономірностей, що визначають явище в загальних рисах, але і випадкових, другорядних факторів. Виявлені в таких завданнях (дослідах) закономірності називаються статистичними (або ймовірними). Статистичні закономірності досліджуються мето-дами спеціальних математичних дисциплін - теорії ймовірностей і математичної статистики.
Теорія ймовірностей - математична наука, що вивчає зако-номерний, властиві масовим випадковим явищам. При цьому через учаемие явища розглядаються в абстрактній формі, незалежно від їх конкретної природи. Тобто теорія ймовірностей розглядали-ет не власними реальні явища, а їх спрощені схеми - математичного-ські моделі.
Предметом теорії ймовірностей є математичні-етичні моделі випадкових явищ. При цьому під випадковим явищем розуміють явище, передбачити результат якого неможливо (прі не-одноразовому відтворенні одного і того ж досвіду воно протікає щораз дещо по-іншому). Приклади випадкових явищ: ви-падіння герба при підкиданні монети, виграш по купленому лотерейним квитком, результат вимірювання будь-якої величини, котрі три-ність роботи телевізора і т. П.
Мета теорії ймовірностей - здійснення прогнозу в області випадкових явищ, вплив на хід цих явищ, контроль їх, огра-ніченний сфери дії випадковості. В даний час немає практи-но жодної галузі науки, в якій в тій чи іншій мірі не застосовувалися б імовірнісні методи.
Всі теми даного розділу:
Дії над подіями
Введемо основні операції над подіями; вони повністю відпо-обхідних основних операцій над множинами. Сумою подій А і В називається подія С = А +
Статистичне визначення ймовірності
Для математичного вивчення випадкової події необхідно ввести будь-яку кількісну оцінку події. Зрозуміло, що одні події мають більше шансів ( «більш вірогідні») наступити, ніж дру-Гії.
елементи комбінаторики
Згідно з класичним визначенням підрахунок ймовірності подію-ку А зводиться до підрахунку числа сприяють йому результатів. Роблять це зазвичай комбінаторними методами. Комбін
Аксіоматичне визначення ймовірності
Аксіоматична побудова теорії ймовірностей створено на початку 30-х років академіком А. Н. Колмогоровим. Аксіоми теорії вероят-ностей вводяться таким чином, щоб ймовірність події володіла осн
властивості ймовірностей
Наведемо ряд властивостей ймовірності, що є наслідком акси-му Колмогорова. З 1. Імовірність неможливого події дорівнює нулю, тобто Р (Æ) = 0.
Кінцеве імовірнісний простір
Нехай проводиться деякий досвід (експеримент), який має кінцеве число можливих результатів w1, w2, w3. wn. В цьому випадку # 911; =
умовні ймовірності
Нехай А і В - дві події, що розглядаються в даному досвіді. На-ступление одного події (скажімо, А) може впливати на можливість настання іншого (В). Для характеристики залежності одн
незалежність подій
З визначення умовної ймовірності (п. 1.14) випливає, що Р (А × В) = Р (А) × Р (ВçА) = Р (В) Р (АçВ), (1.22) т. Е. Ймовірність твори
Імовірність суми подій
Як відомо (п. 1.11), ймовірність суми двох несумісних подію визначається аксіомою A3: (
Формула повної ймовірності
Одним із наслідків спільного застосування теорем додавання множення ймовірностей є формули полнойвероятності і Байеса. Нагадаємо, що події А1, А2, ...
Формула Байєса (теорема гіпотез)
Наслідком формули (1.30) є формула Байеса або теорема гіпотез. Вона дозволяє переоцінити ймовірності гіпотез Hi, прийнятих до досвіду і називається
Формула Бернуллі
Найпростіша задача, що відноситься до схеми Бернуллі, полягає у визначенні ймовірності того, що в п незалежних випробуваннях подію-тя А настане т раз (0 £ т £ n
Поняття випадкової величини. Закон розподілу випадкової величини
Одним з найважливіших понять теорії ймовірностей (поряд зі слу-чайним подією і ймовірністю) є поняття випадкової вели-чини. Під випадковою величиною розуміють величину, яка в резул
Закон розподілу дискретної випадкової величини. багатокутник розподілу
Нехай X - д. С. в. яка приймає значення x1, x2, x3, ..., xn, ... (безліч цих значень звичайно або лічильно) з деякою вероят-ністю pi
Функція розподілу та її властивості. Функція розподілу дискретної випадкової величини
Очевидно, ряд розподілу С.В. може бути побудований тільки для д.с. в. для н. с. в. не можна навіть перерахувати всі її можливі значення. Крім того, як побачимо пізніше (п. 2.3, 2.4), ймовірність кожн
Математичне сподівання випадкової величини
Математичним очікуванням (або середнім значенням) д. З. в. X, - має закон розподілу рi = Р, i = 1,2, 3. n, називаються ється число, яке дорівнює сумі произвед
дисперсія
Дисперсією (розсіюванням) с. в. X називається математичне очіку-ня квадрата її відхилення від свого математичного очікування. Позначається дисперсія через DX (або
Середнє квадратичне відхилення
Дисперсія DX має розмірність квадрата св. X, що в порівняй-них цілях незручно. Коли бажано, щоб оцінка розкиду (розсіювання) мала розмірність С.В. використовують ще одну числову характер
Мода і медіана. Моменти випадкових величин. Асиметрія і ексцес. квантилі
Модою д. С. в. X називається її значення, яке приймається з найбільшою ймовірністю у порівнянні з двома сусідніми значеннями, позначивши-ється через M0X. Для н.с.b. M0X - точ
Предмет математичної статистики
Математична статистика - розділ математики, в якому вивчаються методи збору, систематизації і обробки результатів спостережень масових випадкових явищ для виявлення
Генеральна і вибіркова сукупності
Нехай потрібно вивчити дану сукупність об'єктів відноси-кові деякої ознаки. Наприклад, розглядаючи роботу диспет-чора (продавця, перукаря.), Можна досліджувати: його завантажений
Статистичний розподіл вибірки.
Емпірична функція розподілу / Нехай вивчається деяка св. X. З цією метою над с. в. X про-диться ряд незалежних дослідів (спостережень). У кожному з цих дослідів ве
Графічне зображення статистичного розподілу
Статистичний розподіл зображується графічно (для на-глядності) у вигляді так званих полігону і гістограми. Полігон, як правило, служить для зображення дискретного (т. Е. Варіанти від-лич
Числові характеристики статистичного розподілу
Для вибірки можна визначити ряд числових характеристик, ана-логічним тим, що в теорії ймовірностей визначалися для випадкових величин (див. П. 2.5). Нехай статистичний розподіл виб