Цей навчальний посібник складено відповідно до програми вивчення дисципліни «Математика» студентами спеціальності 190702 - «Організація і безпеку руху», 260601 - «Машини і апарати харчових виробництв»
Дисципліна «Математика» за всіма вказаними спеціальностями відноситься Державним освітнім стандартом до федеральним дисциплін. Одним з розділів дисципліни, певним вимогами до обов'язкового мінімуму змісту основної освітньої програми, є «Теорія ймовірностей».
Розділ «Теорія ймовірностей» має численні практичні додатки при вивченні спеціальних і загально-професійних дисциплін студентами даних спеціальностей.
Слід зазначити, що в даному навчальному посібнику викладено лекційний матеріал і наведені докладні рішення великої кількості типових задач. Таке виклад матеріалу дозволяє використовувати посібник для самостійної роботи студентів над домашніми завданнями і РГЗ як очного, так і заочного відділень, зазначених спеціальностей.
Справжня робота є лише невеликою частиною викладу питань, що мають відношення до розділу «Теорія ймовірностей», відповідно до робочої програми дисципліни «Математика», зазначених спеціальностей і відведеним аудиторних часом.
Предмет теорії ймовірностей
2) Предмет теорії ймовірностей.
3) Випадкові події, їх класифікація.
1) Теорія ймовірностей виникла з потреб практики. Її елементи були «знайомі» ще первісним людям.
Виникнення «математики випадкового» відносять до середини XVII століття і пов'язують зі спробою створення теорії азартних ігор.
У XVII-XIX століттях центральне місце в розвитку теорії ймовірностей займали граничні теореми. До цього періоду відносяться роботи А. Муавра (1667-1754), П. Лапласа (1749-1827), К. Гаусса (1777-1855), С. Пуассона (1781-1840).
В кінці XIX - початку XX століття завдяки зусиллям П.Л. Чебишева (1821 - 1894), А.А. Маркова (1856-1922), А.М. Ляпунова (1857-1918) створені методи докази граничних теорем для сум незалежних довільно розподілених випадкових величин.
Сучасна теорія ймовірностей - строго обґрунтована математична наука. Вона широко використовує досягнення інших математичних наук, і має, в свою чергу, численні програми в природних і гуманітарних науках.
2) Будь-яка точна наука вивчає не самі явища, які відбуваються в природі, в суспільстві, а їх математичні моделі, тобто опис явища за допомогою набору строго певних символів і операцій над ними.
При цьому для побудови математичної моделі реального явища в багатьох випадках досить враховувати тільки основні чинники, закономірності, які дозволяють передбачити результат досвіду по його заданим початковим умовам. Однак є безліч завдань, для вирішення яких доводиться враховувати і випадкові чинники, які надають результату досвіду елемент визначеності. Наприклад, в питаннях стрільби по цілі неможливо без урахування випадкових факторів відповісти на питання: скільки ракет потрібно витратити для ураження цілі? Неможливо передбачити, яка сторона випаде при киданні монети і т.д. Такі завдання, результат яких не можна передбачити з повною упевненістю, вимагають вивчення не тільки основних, головних закономірностей, що визначають явище в загальних рисах, але і випадкових другорядних факторів. Виявлені в таких завданнях закономірності називаються статистичними (або імовірнісними). Статистичні закономірності досліджуються методами спеціальних математичних дисциплін - теорії ймовірностей і математичної статистики.
Подтеоріей ймовірностей розуміють математичну науку, що вивчає закономірності, притаманні масовим випадковим явищам.
Предметом теорії ймовірностей є закономірності, які спостерігаються в випадкових явищах.
Під випадковим явищем розуміють явище, передбачити результат якого неможливо.
Приклад 1.1.1. Прикладами випадкових явищ можуть бути:
- випадання орла при підкиданні монети;
- виграш по купленому лотерейним квитком;
- результат вимірювання будь-якої величини і ін.
Мета теорії ймовірностей - здійснення прогнозу в області випадкових явищ, вплив на хід цих явищ, їх контроль, обмеження сфери дії випадковості.
3) Визначимо поняття «випадкова подія» виходячи з інтуїтивного, наочного розуміння. Нехай проводиться деякий досвід, результат якого передбачити заздалегідь не можна.
Визначення 1.1.1. Подопитом. або випробуванням, експериментом розуміють деяку відтворену сукупність умов, в яких спостерігається те чи інше явище, фіксується той або інший результат.
При цьому розглядаються тільки такі експерименти, які можна повторювати, хоча б теоретично, при незмінному комплексі умов довільне число раз.
Якщо результат досвіду варіюється при його повторенні, говорять про досвід з випадковим результатом.
Визначення 1.1.2. Випадковою подією (просто подією) називається будь-який факт, який в досвіді з випадковим результатом може відбутися або не відбутися.
Події позначаються великими літерами латинського алфавіту:. . і т.д.
1. Досвід: кидання гральної кістки.
У цьому досвіді можуть відбутися такі випадкові події:
Подія - «випадання 5 очок»;
Подія - «випадання парного числа очок» і ін.
2. Досвід: виймання з ящика, де знаходяться блакитних і червоних куль, однакових за розміром і вагою, одного кулі.
Подія - витяг з урни блакитного кулі. Ця подія також є випадковим в даному досвіді.
3. Досвід: підкидання монети. Випадкові події цього досвіду:
Подія - «випадання орла»;
Подія - «випадання решки».
Визначення 1.1.3. Безпосередні результати досвіду називаються елементарними подіями.
Визначення 1.1.4. Безліч всіх елементарних подій досвіду, називають простором елементарних подій або простором фіналів досвіду, що позначається символом.
Досвід: кидання гральної кістки.
В результаті даного досвіду з'являються 6 елементарних подій:
- випадання одного очка, - випадання двох очок і т.д.
В цьому випадку простір елементарних подій така:
З випадкових подій особливо виділяють неможливі і достовірні події.
Визначення 1.1.5. Подія називається достовірною, якщо воно обов'язково настане в даному досвіді.
Простір елементарних подій - це достовірна подія. Тому достовірна подія позначається символом.
Досвід: в ящику знаходяться тільки блакитні кульки.
Подія - з ящика витягнутий блакитна куля. Це достовірна подія.
Визначення 1.1.6. Подія. називається неможливим, якщо воно явно не станеться в результаті досвіду і позначається символом Ø.
Досвід: в ящику знаходяться тільки червоні кулі.
Подія - «з ящика витягнутий блакитна куля». Дана подія неможливе.
Визначення 1.1.7. Дві події і, називаються спільними в даному досвіді, якщо поява однієї з них не виключає появу іншої в цьому досвіді.
Досвід: підкидання двох симетричних монет.
Подія - орел на верхній стороні першої монети.
Подія - решка на верхній стороні другої монети.
Події і є спільними.
Визначення 1.1.8. Дві події і називаються несумісними. якщо вони не можуть відбутися разом при одному і тому ж випробуванні.
Досвід: постріл з одного зброї.
Події і є несумісними.
Визначення 1.1.9. Кілька подій називаються несумісними. якщо вони попарно несумісні.
Визначення 1.1.10. Кілька подій утворюють повну групу подій. якщо в результаті досвіду неминуче повинно з'явитися хоча б одне з них.
Приклад 1.1.9. У 3-му прикладі події - утворюють повну групу.
Визначення 1.1.11. Дві події і. називаються протилежними. якщо поява одного з них, рівносильно не поява іншого.
Приклад 1.1.10. У прикладі 8, події і є протилежними.
Визначення 1.1.12. Кілька подій в даному досвіді називаються рівноможливими. якщо в силу умов проведення досвіду можна вважати, що жодне з них не є об'єктивно більш можливим, ніж інше.
Приклад 1.1.11. У прикладі 3 події є рівноможливими, тому що передбачається, що кубик виготовлений з однорідного матеріалу і має симетричну форму.
Визначення 1.1.13. Результат досвіду називається сприятливим даної події, якщо він тягне за собою появу цієї події.
Приклад 1.1.12. Підкидаються два гральних кубика, підраховуються суми випали очок (суми числа очок на верхніх гранях обох кубиків). Сума що випали очок на двох кубиках може змінюватися від 2 до 12. Записати повну групу подій в цьому досвіді.
Рішення. Повну групу подій утворюють рівноможливими елементарні результати. де. представлені в таблиці 1.1.1.
Елементарний результат означає, що на першому кубику випало очок, на другому очок (= 1,2,3,4,5,6). Наприклад, (3,4) - на першому кубику 3 очка, на другому - 4 очка. Таким чином, буде 36 подій, що утворюють повну групу в даному досвіді.
Приклад 1.1.13. Скільки елементарних фіналів сприяє події - «на обох кубиках випало однакове число очок», при підкиданні двох гральних кубиків?
Рішення. Цій події сприяють 6 елементарних фіналів (див. Табл. 1.1): (1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6).
Приклад 1.1.14. Підкидаються два гральних кубика. Якому події сприяють більше елементарних фіналів: «сума випали очок дорівнює 7», «сума випали очок дорівнює 8»?
Рішення. Події «сума випали очок дорівнює 7» сприяють 6 випадків (див. Табл. 1.1): (1; 6), (2; 5), (3, 4), (4, 3), (5; 2), ( 6; 1). Події «сума випали очок дорівнює 8» сприяють 5 результатів: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Отже, першою подією сприяють більше елементарних фіналів.
Для закріплення даної теми пропонуємо вирішити наступні завдання.
1) Чи є несумісними такі події:
а) досвід - підкидання симетричній монети; події:
б) досвід - два постріли по мішені; події:
- «Хоча б одне влучення»;
- «Хоча б один промах».
2) Чи є рівно можливими такі події:
а) досвід - підкидання симетричній монети; події:
б) досвід - підкидання вигнутій монети; події:
в) досвід - постріл по мішені; події:
3) Чи утворюють повну групу подій наступні події:
а) досвід - підкидання симетричній монети; події:
б) досвід - підкидання двох симетричних монет; події:
4) Досвід - підкидання двох гральних кубиків. Скільки елементарних фіналів сприяє таким подіям:
- сума випали очок дорівнює 2;
- сума випали очок дорівнює 3;
- сума випали очок дорівнює 4;
- сума випали очок дорівнює 12?
5) Досвід - підкидання трьох гральних кубиків. Скільки всього елементарних фіналів? Скільки елементарних фіналів сприяє події - на трьох кубиках випало очок: 3,4,5,6,7,8,9,10,11,12? Яке найбільше значення суми випали очок?
Питання для самоперевірки:
1. Що називають досвідом, або випробуванням?
2. Що називають подією?
3. Яка подія називають достовірним в даному досвіді?
4. Яка подія називають неможливим в даному досвіді?
5. Яка подія називають випадковим в даному досвіді?
6. Які події називають спільними в даному досвіді?
7. Які події називають несумісними в даному досвіді?
8. Які події називають протилежними?
9. Які події вважають рівно можливими?
10. Що називають повною групою подій?
11. Що називають елементарним результатом?
12. Які елементарні результати називають придатними даної події?
13. Що являє собою повна група подій при підкиданні однієї монети?
14. Що являє собою повна група подій при підкиданні двох монет?