приклади розрахунку
Приклад 1.13. (До § 2.13, 3.13 і 4.13). Визначити критичну і допустиму сили для стержня зі сталі показаного на рис. 12.13, а. Стрижень є равнобокой куточок розміром мм. Модуль пружності допустиме напруження Моменти інерції: радіуси інерції см;
Рішення. Один кінець стрижня замурований, а інший вільний. Для такого стрижня коефіцієнт приведення довжини (див. § 2.13). Головні центральні осі інерції поперечного перерізу стержня показані на рис. 12.13, б. Ось у є віссю Тому при втраті стійкості стержень буде згинатися в площині т. Е. Його перетину повертатися щодо осі у.
Найбільша стійкість [см. формулу (12.13)]
Так як гнучкість більше 100 (граничної гнучкості для сталі), то стрижень буде втрачати стійкість при напружених, менших межі пропорційності (див. § 3.13). Тому визначення критичної сили слід проводити за формулою Ейлера (11.13):
Допустиму силу визначаємо виходячи з формули (21.13):
Тут коефіцієнт визначений для гнучкості по табл. Г. 13 (для сталі) шляхом інтерполяції між значеннями 0,32 і 0,29, необхідну гнучкість 150 і 160.
Слід зазначити, що при расчеге стислих стрижнів на стійкість за коефіцієнтами поздовжнього вигину коефіцієнт запасу стійкості в явному вигляді в розрахунку не фігурує і обчислення критичної сили при розрахунку стержня на стійкість не потрібно.
У розглянутому прикладі, оскільки критична сила обчислена, можна підрахувати коефіцієнт запасу стійкості:
Таким чином, виявляється, що для стали при гнучкості таблиця коефіцієнтів передбачає коефіцієнт запасу стійкості
Приклад 2.13 (до § 2.13). Як зміниться величина критичної сили (по Ейлера): а) якщо всі розміри поперечного перерізу стрижня збільшаться в раз; б) довжина стержня збільшиться в раз?
а) За формулою Ейлера (11.13) величина критичної сили прямо пропорційна моменту інерції поперечного перерізу стержня. Момент же інерції виражається в сантиметрах в четвертого ступеня лінійних розмірів поперечного перерізу.
Таким чином, збільшення лінійних розмірів перетину в раз викликає збільшення моменту інерції і критичної сили в раз. Наприклад, при збільшенні розмірів перетину в два рази критична сила збільшується в 16 разів.
б) За формулою Ейлера (11.13) величина критичної сили обернено пропорційна квадрату довжини стрижня. Отже, при збільшенні довжини стержня в раз критична сила зменшується в раз.
Приклад 3.13 (до § 4.13). Стійка зі сталі таврового перетину довжиною затиснена нижнім кінцем. Верхній її кінець розташований між стінками А і В, що допускають вільне переміщення в площині в площині верхній кінець стійки не може зміщуватися по горизонталі і повертатися (рис. 13.13). Визначити допустиме значення стискаючої сили Р при кгс / см. Розміри поперечного перерізу стійки показані на рис. 13.13.
Рішення. Визначаємо відстань центра ваги поперечного перерізу від зовнішньої поверхні полиці тавра (рис. 14.13):
Отже, центральна вісь у проходить в межах полки тавра (т. Е. Лівіше, ніж показано на рис. 13.13 та 14.13).
Визначаємо головні центральні моменти інерції поперечного перерізу (щодо осей у і):
Радіуси інерції поперечного перерізу:
Коефіцієнт приведення довжини при втраті стійкості в площині (при вільному верхньому кінці стійки в цій площині). У площині кінці стійки повертатися не можуть, а тому при втраті стійкості в цій площині коефіцієнт приведення довжини (див. § 2.13).
Визначаємо за формулою (12.13) гнучкості стійки:
а) при втраті стійкості в площині
б) при втраті стійкості в площині
Гнучкість в площині більше, ніж в площині Отже, для стійки небезпечна втрата стійкості в площині
За табл. 1.13 при для стали знаходимо Користуючись формулою (21.13), визначаємо допустиме значення сили Р:
Приклад 4.13 (до § 4.13). Стійка довжиною складається з двох швелерів, з'єднаних привареними до них планками (рис. 15.13), стиснута силою Р. Кінці стоїки шарнірно закріплені. Необхідно запроектувати стійку так, щоб коефіцієнт запасу її стійкості був однаковий незалежно від того, в який з головних площин стійки (в площині або в площині) буде відбуватися втрата стійкості. Визначити при цьому допускається силу Р і відстань з в світлі між швелерами. Прийняти При розрахунку прийняти, що планки, що з'єднують швелери, встановлені настільки часто, що можна розглядати складене перетин як монолітне. Дано: см; см; см (рис. 16.13).
Рішення. Гнучкість стійки при втраті стійкості в площині дорівнює [см. формулу (12.13)]
Тут так як стійка шарнірно закріплена на кінцях (див. § 2.13).
Радіус інерції всього стержня (обох швелерів) щодо осі z дорівнює радіусу інерції одного швелера.
При гнучкості коефіцієнт для сталі дорівнює 0,584 (див. Табл. 1.13). Допустиме значення сили Р визначаємо, використовуючи фюрмулу (21.13):
Момент інерції всього перетину стійки щодо осі у (рис. 16.13)
Для того щоб коефіцієнт запасу стійкості при втраті її в площині був такий же, як і в площині необхідно, щоб гнучкості стійки в площинах були однакові і, отже, щоб були однакові моменти інерції всього перетину стійки щодо осей у і z, т. Е.
де - момент інерції одного швелера щодо осі
З цієї рівності знаходимо
Приклад 5.13 (до § 5.13). Знайти найбільші нормальні напруги в сталевий балці з швелера, показаної на рис. 17.13, а. дано:
Рішення. За формулою (11.13) визначаємо значення ейлеровой сили:
Ставлення, т. Е. Становить істотну частину від одиниці. Отже, знехтувати впливом сили S на прогини і зусилля в балці не можна, т. Е. Балку треба розраховувати за формулами поздовжньо-поперечного вигину.
За формулою (26.13) визначаємо прогин балки під силою Р:
За формулою (23.13) знаходимо Мтах:
Визначаємо нормальні напруги в точках а і 6 (рис. 17.13, б) поперечного перерізу балки під вантажем Р за формулою позацентрового стиснення: