Розрахунок стійкості стиснутих стержнів

Розрахунок стійкості стиснутих стержнів

На практиці часто виникає необхідність розрахунку стійки або колони на максимальну осьову (поздовжнє) навантаження. Зусилля, при якому стійка втрачає стійкий стан (несучу здатність) є критичним. На стійкість стійки впливає спосіб закріплення кінців стійки. У будівельній механіці розглядають сім способів закріплення кінців стійки. Ми розглянемо три основних способи:

Для забезпечення певного запасу стійкості необхідно щоб дотримувалася умова:

де: Р - чинне зусилля;

[Р] - допустиме навантаження.

Встановлюється певний коефіцієнт запасу стійкості

Таким чином, при розрахунку пружних систем необхідно вміти визначати величину критичної сили РКР. Якщо мати введу що зусилля Р докладено до стійки викликає тільки малі відхилення від прямолінійної форми стійки довжиною ι то його можна визначити з рівняння

де: E - модуль пружності;
J_min- мінімальний момент інерції перерізу;
M (z) - згинальний момент, рівний M (z) = -P ω;
ω - величина відхилення від прямолінійної форми стійки;
Вирішуючи це диференціальне рівняння

А та В постійні інтегрування, визначаються по граничних умовах.
Провівши певні дії і підстановки отримаємо кінцеве вираз для критичної сили Р

Найменше значення критичної сили буде при n = 1 (ціле число) і

Рівняння пружної лінії стійки матиме вигляд:

де: μ - коефіцієнт приведеної довжини (Таблиця);
imin - найменший радіус інерції поперечного перерізу стійки (таблиця);
ι - довжина стійки;
Вводиться коефіцієнт критичного навантаження:

(Таблиця);
Таким чином, при розрахунку поперечного перерізу стійки необхідно враховувати коефіцієнти μ і ϑ величина яких залежить від способу закріплення кінців стійки і приведена в таблицях довідника з опору матеріалів (Г.С. Писаренка і С.П.Фесік)
Наведемо приклад розрахунку критичної сили для стержня суцільного перетину прямокутної форми - 6 × 1 см. Довжина стержня ι = 2м. Закріплення кінців за схемою III.
розрахунок:
По таблиці знаходимо коефіцієнт ϑ= 9,97, μ = 1. Момент інерції перерізу буде:

а критична напруга буде:

Очевидно, що критична сила РКР = 247 кгс викличе в стрижні напруга всього 41кгс / см 2. що значно менше межі проточности (1600кгс / см 2), однак ця сила викличе викривлення стержня, а значить втрату стійкості.
Розглянемо ще один приклад розрахунку дерев'яної стійки круглого перетину затисненої в нижньому кінці і шарнірно закріпленої на верхньому (С.П. Фесик). Довжина стійки 4м, сила стиснення N = 6тс. Напруга, що допускається [σ] = 100кгс / см 2. Приймаються коефіцієнт зниження допустимої напруги на стиск φ = 0.5. Обчислюємо площу перетину стійки:

Визначаємо діаметр стійки:

Момент інерції перерізу

Обчислюємо гнучкість стійки:
де: μ = 0.7, виходячи зі способу защемлення кінців стійки;
Визначаємо напругу в стійці:

Очевидно, що напруга в стійці становить 100кгс / см 2 і воно рівно допустимому напрузі [σ] = 100кгс / см 2
Розглянемо третій приклад розрахунку сталевий стійки з двотаврового профілю, довжиною 1.5м, сила стиснення 50тс, допустиме напруження [σ] = 1600кгс / см 2. Нижній кінець стійки затиснений, а верхній вільний (I спосіб).
Для підбору перетину використовуємо формулу і задаємося коефіцієнтом φ = 0.5, тоді:

Підбираємо з сортаменту двутавр №36 і його дані: F = 61.9см 2. imin = 2.89см.
Визначаємо гнучкість стійки:

де: μ з таблиці. рівне 2, з огляду на спосіб защемлення стійки;
Розрахункове напруження в стійці буде:

5кгс, що приблизно рівно допустимому напрузі, і на 0.97% більше, що допустимо в інженерних розрахунках.
Поперечний переріз стрижнів працюють на стиск буде раціональним при найбільшому радіусі інерції. При розрахунку питомої радіуса інерції
найбільш оптимальним є трубчасті перетину, тонкостінні; для яких величина ξ = 1 ÷ 2.25, а для суцільних або прокатних профілів ξ = 0.204 ÷ 0.5

Використовувана література:
Г.С Писаренко «Довідник з опору матеріалів».
С.П.Фесік «Довідник з опору матеріалів».
В.І. Анурьев «Довідник конструктора-машинобудівника».
СНиП II-6-74 «Навантаження і впливи, норми проектування».