1) Безліч числових дійсних функцій однієї змінної, безперервних на інтервалі (0; 1) щодо звичайних операцій додавання функцій і множення функції на число.
2) Безліч многочленів від однієї букви з коефіцієнтами з поля K щодо складання многочленів і множення многочленів на скаляр.
3) Безліч комплексних чисел щодо складання комплексних чисел і множення на дійсне число.
4) Безліч матриць одного і того ж розміру з елементами з поля До щодо складання матриць і множення матриць на скаляр.
Наступний приклад є важливим окремим випадком прикладу 4.
5) Нехай - довільна натуральне число. Позначимо через безліч всіх стовпців висоти n, тобто безліч матриць над полем K розміру.
Безліч є векторним простором над полем К і називається арифметичним векторним простором стовпців висоти n над полем K.
Зокрема, якщо замість довільної поля До взяти поле дійсних чисел, то векторний простір називається речовим арифметичним векторним простором стовпців висоти n.
Аналогічно, векторних простором є і безліч матриць над полем K розміру або, інакше, рядків довжини n. Воно позначається також через і також називається арифметичним векторним простором рядків довжини n над полем K.
Системи векторів векторного простору.
Визначення. Системою векторів векторного простору називають будь-яке кінцеве непорожня множина векторів цього простору.
де - скаляри поля К, - вектори векторного простору V, називається лінійною комбінацією системи векторів. Скаляри називаються коефіцієнтами цієї лінійної комбінації.
Визначення. Якщо всі коефіцієнти лінійної комбінації (1) дорівнюють нулю, то таку лінійну комбінацію називають тривіальної, в іншому випадку - нетривіальною.
Приклад. Нехай система з трьох векторів векторного простору V. Тоді
- тривіальна лінійна комбінація даної системи векторів;
- нетривіальна лінійна комбінація даної системи векторів, тому що перший коефіцієнт цієї комбінації.
Визначення. Якщо який-небудь вектор х векторного простору V може бути представлений у вигляді:
то кажуть, що вектор х лінійно виражається через вектори системи. В цьому випадку говорять також, що система лінійно представляє вектор х.
Зауваження. В цьому і попередньому визначенні слово "лінійно" часто пропускають і кажуть, що система являє вектор або вектор виражається через вектори системи і т.п.
Приклад. Нехай - система з двох стовпців арифметичного речового векторного простору стовпців висоти 2. Тоді стовпчик лінійно виражається через стовпці системи або дана система стовпців лінійно представляє стовпець х. дійсно,