Розглянемо найпростіші види випромінювачів, відповідні вначеніям
Випромінювач нульового порядку (m = 0)
З формули (8,36), вважаючи рівними нулю всі постійні крім отримаємо вираз для члена нульового порядку в розкладанні потенціалу швидкостей по сферичним функціям:
Постійна згідно рівності (8,33), має сенс середньої по поверхні швидкості.
За допомогою формул (8,16), (8,28) і (8,31) знайдемо:
Величина А являє продуктивність точкового випромінювача:
Звернемо увагу, що в вираз потенціалу входить продуктивність А, а не об'ємна швидкість Величина близька до об'ємної швидкості тільки для довгих
хвиль Для коротких хвиль А може значно перевищувати і відрізнятися від неї по фазі.
Якщо розподіл швидкостей по сфері визначається тільки функцією то, відповідно до формул (8,33), тобто випромінювання нульового порядку відсутня, але і буде присутній випромінювання, що характеризується сферичної функцією
Випромінювач 1-го порядку (m = 1)
Зі співвідношення (8,22), з огляду на формули (8,11) і (8,12) і вважаючи, що тільки постійні нерівні нулю, отримаємо:
За допомогою рівностей (8,16), (8,19) і (8,31) знайдемо:
Перший член виразу (8,39) залежить тільки від полярного
Вираз подібного виду має місце для потенціалу акустичного диполя (див. Гл. 4), вісь якого розташована у напрямку причому величина має сенс моменту диполя. При довільному законі розподілу швидкостей по поверхні постійні можуть бути знайдені за формулами (8,33) і (8,35).
Покажемо, що другий член рівності (8,39)
дає випромінювання диполя, вісь якого повернена на 90 ° по відношенню до осі першого диполя. Уявімо вираз у вигляді:
де Тоді залежна від кута частина співвідношення (8,41) дорівнює:
Перетворимо систему полярних координат, повернувши вісь z в площині азимута на 90 ° (рис. 63). Полярні координати будь-якої точки в новій системі координат будуть і З сферичного трикутника (рис. 64), користуючись відомою формулою косинусів, знайдемо:
Вираз потенціалу швидкостей в новій системі координат набуде вигляду:
Так як цей вислів тотожно з (8,40), то ясно, що другий член в загальному вираженні (8,39) потенціалу швидкостей для випромінювача 1-го порядку дає випромінювання диполя з віссю, поверненою на 90 ° по відношенню до осі першого диполя .
Покажемо тепер, що сума випромінювання двох синфазних диполів з постійними і з осями, нахиленими під кутом 90 °, еквівалентна випромінювання одного диполя з моментом, рівним геометричній сумі моментів двох диполів, і з напрямком осі, що лежить між осями в площині За нову полярну вісь приймемо пряму (рис. 63), кут нахилу якої до осі позначимо через В.
З сферичних трикутників і за формулою косинусів, позначаючи маємо:
Використовуючи співвідношення виду (8,42), для другого члена в вираженні (8,39) знайдемо для всієї сферичної функції:
Якщо зажадати, щоб дорівнювало нулю, то потенціал швидкостей не буде залежати від азимутального кута по відношенню полярної осі т. Е. Виразиться рівністю, подібним (8,40), характерним для диполя з віссю, спрямованої по При цьому кут нахилу нової осі до визначиться зі співвідношення:
Вираз для сферичної функції (8,43) можна уявити тепер у вигляді:
Легко переконатися, що сумарний потенціал швидкостей буде відповідати потенціалу диполя з моментом
вісь якого нахилена до осі під кутом, обумовленим співвідношенням (8,44).
Випромінювач 2-го порядку (m = 2)
Вважаючи в загальній формулі і використовуючи вирази (8,11), (8,12) і (8,31) отримаємо для потенціалу швидкостей випромінювача другого порядку:
Перший член у виразі сферичної функції залежить тільки від (зональна функція 2-го порядку), звертається в нуль при Це означає, що в усіх напрямках, які лежать на поверхні
конуса з кутом при вершині, рівним 55 °, випромінювання звуку відсутня. Форма поверхні зонального випромінювача 2-го порядку представлена схематично на рис. 65, а при максимальному позитивному (пунктирна крива) і негативному (штрих пунктирна крива) зсувах. Області поблизу від полюсів (дві полярні шапки) коливаються синфазно; екваторіальна зона від до коливається в зворотному фазі; амплітуда на екваторі в 2 рази менше, ніж на полюсі.
Лінії струму при (в ближній зоні) матимуть в одну половину періоду вид фонтанів, що виходять з області полярних шапок і замикаються в екваторіальній зоні (рис. 65, б), і зворотний напрямок в другу половину періоду. Зональний випромінювач 2-го порядку дає випромінювання, подібне випромінювання суми двох диполів зі зворотним напрямком моментів і розташованих на малій відстані уздовж однієї і тієї ж осі, тобто випромінювання, подібне осьового квадруполів. Реальним прообразом зонального випромінювача є коливання краплі або бульбашки газу в рідині, що відбувається за законом При цьому сфера приймає форму, схожу то на витягнутий по осі еліпсоїд обертання, то на сплющений еліпсоїд обертання (рис. 65, а). Коливання сфери такого типу назвемо зональними модами коливання 2-го порядку.
Третій член виразу (8,45) містить сферичну функцію виду
Кут можна вважати за початковий кут відліку і покласти Таким чином, випромінювач цього типу буде характеризуватися залежністю потенціалу швидкостей від кутових параметрів, що має вигляд:
Очевидно, що при чотирьох азимутах звертається в нуль.
У меридіональних площинах, визначених цими кутами За цими напрямками радіальна швидкість і звуковий тиск дорівнюють нулю, і випромінювання звуку відсутня. Форма коливань поверхні сфери в двох проекціях зображена на рис. 66, а (в площині екватора) і рис. 66, б (в площинах, перпендикулярних до осей Поверхня випромінювача розбивається вузловими лініями на чотири сектори, розділених вузловими меридіанами. Фаза коливань в будь-яких двох сусідніх секторах протилежна. Лінії струму, що виходять з кожного сектора, в ближній зоні розгалужуються в дві сторони і замикаються на два сусідніх сектора. випромінювач типу (8,46) називається векторіального випромінювачем 2-го порядку. Характеристика спрямованості в площині XV для секторіального випромінювача визначається функцією і має вигляд чотирипелюсткові кривої ( ис. 67)
У меридіональних площинах і випромінювання максимально в області екватора дорівнює нулю в полярних напрямках
Секторіальні моди коливань можуть здійснювати жорсткі сферичні оболонки, краплі і повітряні бульбашки в рідині. Секторіальні моди можливі також при коливаннях циліндрів і дзвонів. Всі ці системи при коливаннях можуть розбиватися не тільки на чотири (коливання 2-го порядку), але і на будь-яке парне число секторів
Дослідження Бакгауза показали, що при низьких частотах корпус скрипки коливається за формою, приблизно нагадує секторіальних моду 2-го порядку, причому вузлові лінії проходять посередині передньої і задньої деки (рис. 68) і посередині бічних стінок.
Другий член виразу (8,45) містить сферичну функцію виду:
Чи не зменшуючи спільності, можна вважати, що Цей тип випромінювача носить назву тессерал'ного випромінювача 2-го порядку. Неважко показати, що випромінювач цього типу тотожний з секторіальних, вісь якого повернена на 90 ° так, що нова вісь зайняла положення старої осі (рис. 69). Тоді вісь X піде за старою осі а вісь старої осі Позначивши новий полярний кут через та азимут
через висловимо декартові координати точки через старі і нові полярні кути:
З цих виразів знайдемо:
Вважаючи і підставляючи в вираження нових кутових координат через старі, отримаємо:
Отримана форма сферичної функції тотожна форми (8,46) для секторіального випромінювача за умови певного вибору початкового кута відліку по азимуту