Рішення задачі Коші для системи диференціальних рівнянь 1-го порядку
Нормальною системою n диференціальних рівнянь першого порядку з невідомим функціями називається система:
Рішенням системи (1) на інтервалі (a, b) називається сукупність n функцій. безперервно диференційовних на (a, b) і перетворюють при їх підстановці рівняння системи (1) в тотожності. Завдання Коші для системи (1) формулюється так: знайти рішення цієї системи, що задовольняє початковим умовам
де - задані числа,. Для нормальної системи ДУ (1) має місце теорема про існування та єдиності розв'язку задачі Коші. Рішення задачі Коші є приватним рішення нормальної СДУ.
Запишемо систему (1) ввекторной формі, для цього введемо векторні функції: вектор - стовпець невідомої функції. її похідної і вектор - стовпець функції правої частини системи (1).
З використанням введених позначень, задача Коші для системи (1) запишеться у вигляді:
Як ми бачимо, векторна запис (3) завдання Коші для СДУ 1-го порядку має той же вигляд, що і для ДУ 1-го порядку. У разі СДУ замість функцій ми маємо вектор-функції. відповідно. Методи Ейлера, Рунге-Кутта для ДУ 1-го порядку можна формально поширити на СДУ 1-го порядку, коефіцієнти в цьому випадку будуть також векторами. Наприклад, векторна запис методу Рунге-Кутта 2-го порядку для системи (3) має вигляд:
Нижче ми розглянемо методи на конкретному прикладі.
Приведення диференціального рівняння n-го порядку до нормальної системи ДУ 1-го порядку.
Розглянемо задачу Коші для диференціального рівняння n -го порядку:
Якщо рівняння (7) вирішується відносно старшої похідної. тобто його можна представити у вигляді, то його можна привести до нормальної системи n диференціальних рівнянь. покладемо:
Рівняння (7) тоді набуде вигляду:
Таким чином, наше рівняння звелося до нормальної системи СДУ:
Початкові умови (8) приймають такий вигляд:
Розглянемо дані методи на прикладі.
Вирішимо задачу Коші для ДУ рівняння 2-го порядку чисельними методами. Нагадаємо, що рішення при цьому ми отримаємо у вигляді гратчастої функції, тобто отримаємо значення рішення на заданій сітці вузлів.
Розглянемо задачу Коші для рівняння:
Точне рішення задачі Коші для рівняння має вигляд:
Знайдемо значення точного рішення на конкретної сітці вузлів: