Запис диференціальних рівнянь в нормальному формі Коші.
При розгляді багатьох питань зручно, якщо рівняння одновимірних і багатовимірних систем записані у вигляді нормальної системи. Нормальною системою або системою в нормальній формі Коші називають систему диференціальних рівнянь першого порядку, дозволених щодо похідних. Зокрема, нормальною системою лінійних диференціальних рівнянь називають систему
У матричної формі вона записується як
Матриці-стовпці також називають векторами. Вектор х називають фазовим вектором або вектором стану, а його координати - фазовими координатами. Вектор і називають вектором управління або просто управлінням, а його координати - параметрами управління: Вектор називають вектором обурення або просто обуренням, а його координата - обуренням або обурюють впливом.
Поряд з неоднорідним рівнянням (2.74) розглянемо однорідне рівняння
Нехай утворює лінійно незалежних рішень цього рівняння. Будь-яку таку систему називають фундаментальною системою розв'язків рівняння (2.75). Складемо матрицю, вважаючи як її стовпці рішення з фундаментальної системи:
Цю матрицю називають фундаментальною матрицею рівнянь (2.73) - (2.75). Якщо при фундаментальна матриця звертається в одиничну, то вона називається нормованою. Використовуючи довільну фундаментальну матрицю Ф (0. нормовану (позначимо її можна представити у вигляді
За допомогою нормованої фундаментальної матриці рішення неоднорідного рівняння (2.74) при всіх t і можна представити у вигляді співвідношення
яке називається формулою Коші. У справедливості цієї формули легко переконатися безпосередній підстановкою в рівняння (2.74), скориставшись при цьому матричних рівнянням
яке справедливо у всіх Це рівняння випливає з того, що кожен стовпець фундаментальної матриці є рішенням (2.75).
Відзначимо ряд основних властивостей нормованої фундаментальної матриці. Скориставшись (2.76), для будь-яких і легко отримати такі рівності:
Якщо матриця А постійна, то фундаментальна матриця залежить тільки від різниці до має вигляд Матрична функція називається експоненціальною матрицею або матричним експоненціалом і визначається сумою ряду
Розглянемо рівняння, поєднане (2.75):. Якщо нормована фундаментальна матриця цього рівняння, т. Е.
то формулу Коші можна представити у вигляді
Дійсно, диференціюючи тотожність отримуємо