Наближені розв'язки нелінійних рівнянь
(Рішення трансцендентних і алгебраїчних рівнянь)
Характеристичне рівняння системи автоматичного управління (САУ) режимами роботи електричних систем в загальному випадку має нелінійний вигляд. Вирішуються такі рівняння, як правило, чисельними методами.
У завданні №1 необхідно вирішити два нелінійних рівняння (трансцендентне і алгебраїчне).
1. Графічно відокремити корені.
2. Уточнити коріння рівнянь чисельними методами відповідно до варіанту завдання (по одному кореню для кожного рівняння).
3. Перевірити рішення трансцендентного рівняння за допомогою вбудованого в MathCAD блоку рішень Given-Minerr. арешеніе алгебраїчного рівняння - вбудованої в MathCAD функцією polyroots ().
Вказівки до виконання завдання
Для графічного відділення коренів в MathCAD будується графік функції. складеної на основі вихідного рівняння.
Наприклад, дано трансцендентне рівняння:
Для складання функції переносимо всі складові в праву частину, отримаємо:
Відділення коренів полягає у визначенні інтервалів [a, b], в якому графік функції один раз перетинає вісь абсцис (інтервали ізоляції кореня).
Алгоритми методів уточнення коренів.
Метод половинного ділення.
1) Вихідні дані: інтервал [a, b], задана похибка розрахунку. Для цього і наступних завдань можна прийняти.
3) Наближене значення кореня:
5) Якщо або. то - корінь, отриманий із заданою точністю (закінчення розрахунку).
при і перехід до (*);
при. і перехід до (*).
1) Вихідні дані: інтервал [a, b], задана похибка розрахунку.
2) Визначити першу і другу похідні функції - і.
4) Визначити додаткові величини. і:
- мінімальне значення з і;
якщо і мають однаковий знак, то. ,
6) Наближене значення кореня:
Якщо. то - корінь, отриманий із заданою точністю (закінчення розрахунку).
Якщо ні, то: . і перехід до (*).
1) Вихідні дані: інтервал [a, b], задана похибка розрахунку.
2) Визначити першу і другу похідні функції - і.
4) Визначити додаткові величини. і:
- мінімальне значення з і;
- максимальне значення з і;
якщо і мають однаковий знак, то. інакше.
5) Наближене значення кореня:
6) Якщо. то - корінь, отриманий із заданою точністю (закінчення розрахунку). Якщо немає, то: і перехід до (*).
РІШЕННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ (СЛАР)
В результаті застосування законів Кірхгофа до розрахунку електричних ланцюгів постійного струму отримують систему лінійних алгебраїчних рівнянь, яка пов'язує між собою параметри ланцюга і параметри режиму.
Вирішують СЛАР різними методами, зокрема - ітераційним.
У завданні №2 необхідно вирішити систему лінійних алгебраїчних рівнянь методом прискореної ітерації (метод Зейделя).
1. Привести СЛАР до вигляду, зручного для ітерацій.
2. Перетворену (еквівалентну) систему привести до нормального вигляду.
3. Прийняти за початкові наближення вільні члени нормалізованих рівнянь системи.
4. Вирішити СЛАР (відповідно до варіанту завдання) з точністю.
5. Перевірити рішення СЛАР за допомогою вбудованої в MathCAD функції lsolve ().
Вказівки до виконання завдання
Приведення СЛАР до вигляду, зручного для ітерацій.
Для забезпечення збіжності ітераційного процесу досить, щоб для вихідної системи модулі діагональних коефіцієнтів кожного рівняння були більше суми модулів всіх інших коефіцієнтів в цьому ж рівнянні. Приведення вихідної системи до еквівалентної, для якої виконуються умови збіжності, робиться за допомогою елементарних перетворень.
Наприклад, для системи з трьох рівнянь:
Якщо. і - збіжність ітераційного процесу забезпечена.
Привести до вигляду, зручного для ітерацій, систему:
Переглядаємо рівняння: в рівнянні (Б) - отже, приймаємо рівняння (Б) в якості другого рівняння еквівалентної системи.
У рівнянні (А) - приймаємо рівняння (А) в якості третьої рівняння вихідної системи.
За перше рівняння еквівалентної системи приймемо комбінацію (2 # 903; В + А), тоді отримаємо:
У підсумку отримуємо еквівалентну систему рівнянь, зручну для ітерацій: