проста півгрупа
Ряд відомих результатів про кільцях лінійних перетворень і деякі властивості абстрактних кілець отримані з розгляду тільки їх мультиплікативний напівгруп. Головним чином тут використані властивості цілком простих напівгруп. [31]
Властивість напівгрупи S бути цілком простий еквівалентно, крім відповідних версій вищенаведених умов (2) - (4), кожному з умов: (5) 5 є прямокутна зв'язка (необхідно ізоморфних один одному) груп; (6) S регулярна і все її ідемпотентів примітивні. В силу (5) будь-яка цілком проста півгрупа кліффордова. Напівгрупи, в яких все подполугруппи збігаються зі своїми ідеалізаторамі, - це в точності періодичні цілком прості напівгрупи. Ідеально (і, автоматично, цілком) прості напівгрупи ідемпо-тентів - це в точності прямокутні напівгрупи. [32]
Групи, і тільки вони, суть напівгрупи, прості зліва і справа, будь-яка 0-група 0-Біпрості. Тому конструкції, що виникають при описі простих напівгруп ряду типів. часто включають в якості одного з блоків групу або 0-групу - особливо при наявності ідемпотентів в описуваних напівгрупах; приклади такого сорту нижче зустрінуться не раз. Випадок напівгруп без ідемпотентів має, як правило, помітну специфіку. [33]
Наступні умови для напівгрупи S еквівалентні: 1) S прямокутна, 2) S є ідеально проста І. Проста півгрупа), 3) S є цілком проста півгрупа ідемпотентів. 4) S ізоморфна прямому добутку LXR, де L - левосінгулярная, а R - правосінгулярная напівгрупи. Це розкладання служить вихідним пунктом при вивченні багатьох властивостей І. [34]
З цих визначень відразу ж випливає, що якщо півгрупа S цілком проста, то півгрупа 5 цілком 0-проста. Як наслідок отримуємо, що багато результати про цілком простих напівгрупах очевидним чином випливають із результатів для цілком 0-простих напівгруп. [35]
Односторонньо прості напівгрупи без ідемпотентів являють собою один з типових представників класу Біпрості, але не цілком простих напівгруп. Обидві вони в певному сенсі мінімальні серед Біпрості, але не цілком простих напівгруп. Так, для будь-якого йдемо-Потенте е ідеально простий [0-простий], але не цілком [0-] простий напівгрупи 5 існує Біциклічні подполугруппа з S, в якій е є одиницею. [36]
Подальший розгляд односторонньо простих напівгруп проводиться заради визначеності для правостороннього випадку. Умови (5) - (7) вище показують, що прості справа напівгрупи з ідемпотен-тами становлять підклас класу цілком простих напівгруп і мають дуже ясну структуру. Для простих справа напівгруп без ідемпотентів подібних структурних характеризації немає, хоча в класі таких напівгруп є описані нижче універсальні (по вложімості) напівгрупи. Будь-яка півгрупа Тессье проста справа і не має ідемпотентів, а будь-яка півгрупа Бера - Леві буде до того ж полугруппой з правим скороченням. [37]
Архимедови напівгрупи з ідемпотентів допускають опис, яке здійснює редукцію до ідеально простим Напівгрупа, нільполугруппам і ідеальним розширенням. Напівгрупа 5 на непустому безліччю Es архимедова [левоархімедова, правоархіме-дова] тоді і тільки тоді, коли S є нільрасші-ширення ідеально простий напівгрупи К [лівої групи, правої групи]; тут ТС - ядро і / С / (е) для будь-якого е е Es. У двох останніх (односторонніх) випадках S автоматично буде епігруппой. У першому ж випадку S буде епігруппой тоді і тільки тоді, коли До цілком проста, і це еквівалентно також тому, що Es є антіцепь. Наступні умови для напівгрупи S еквівалентні: (1) S - біархімедова півгрупа з ідемпотентів; (2) S - уніпотентная епігруппа; (3) S - нільрасшіреніе групи; (4) S разложима в подпрямое твір групи і Ніль-напівгрупи. [38]
Вільні цілком прості напівгрупи можуть бути описані В термінах Рисовский матричних напівгруп; при цьому нижченаведена конструкція охоплює і більш загальний випадок - - вільні напівгрупи в різноманітті Л (Ж) всіх цілком простих напівгруп над фіксованим різноманіттям груп SS (Расін В. В. / / Дослідження з сучасної алгебри. SB є різноманіття всіх груп, - Clifford AH / / J. [39]
Вірно, зрозуміло, і двоїсте твердження. Будь-яка цілком проста півгрупа є правою [лівій] зв'язкою (необхідно ізоморфних) правих [лівих] груп. [40]
Очевидно, що півгрупа, локальне будова якої відповідає умовам пункту б), інверсна. Навпаки, якщо / є клас инверсной напівгрупи та / Jf. Так як К (S) - проста півгрупа. з цих умов випливає, що К (S) має тільки один Ж клас і, отже, К (S) є група. [41]
Властивість напівгрупи S бути цілком простий еквівалентно, крім відповідних версій вищенаведених умов (2) - (4), кожному з умов: (5) 5 є прямокутна зв'язка (необхідно ізоморфних один одному) груп; (6) S регулярна і все її ідемпотентів примітивні. В силу (5) будь-яка цілком проста півгрупа кліффордова. Напівгрупи, в яких все подполугруппи збігаються зі своїми ідеалізаторамі, - це в точності періодичні цілком прості напівгрупи. Ідеально (і, автоматично, цілком) прості напівгрупи ідемпо-тентів - це в точності прямокутні напівгрупи. [42]
Односторонньо прості напівгрупи без ідемпотентів являють собою один з типових представників класу Біпрості, але не цілком простих напівгруп. Обидві вони в певному сенсі мінімальні серед Біпрості, але не цілком простих напівгруп. Так, для будь-якого йдемо-Потенте е ідеально простий [0-простий], але не цілком [0-] простий напівгрупи 5 існує Біциклічні подполугруппа з S, в якій е є одиницею. [43]
Для напівгруп, на відміну, скажімо, від груп, є кілька варіантів визначення поняття простоти. Всі вони об'єднуються вимогою відсутності власних ідеалів або конгруенції того чи іншого фіксованого типу; в залежності від розглянутого типу виникають відповідні типи простих напівгруп. [44]
Досліджуються конгруенції на І. Виділено цілий ряд важливих спеціальних типів І. Проста півгрупа), або відносяться до полурешетке ідемпотентів Е, або є комбінаціями умов обох типів. Обмеження на Е можуть стосуватися абстрактних властивостей Е як полурешеткі (наприклад, Е - ланцюг спеціального виду), або тих чи інших відносних властивостей Е в полугруппе, зокрема поведінки Е щодо деяких конгруенції. [45]
Сторінки: 1 2 3 4