Теорема Бібербаха Правити
Дві кристалографічні групи вважаються еквівалентними, якщо вони пов'язані в групі афінних перетворень евклідового простору.
- Будь-яка -мірним просторова група містить лінійно незалежних паралельних переносів; група лінійних частин перетворень (тобто образ в) кінцева.
- Дві кристалографічні групи еквівалентні тоді і тільки тоді, коли вони ізоморфні як абстрактні групи.
- При будь-якому є лише кінцеве число -мірних кристалографічних груп, що розглядаються з точністю до еквівалентності (що є рішенням 18-ї проблеми Гільберта).
Теорема дозволяє дати такий опис будови кристалографічних груп як абстрактних груп: Нехай - сукупність всіх паралельних переносів, що належать кристалографічної групі. Тоді - нормальна підгрупа кінцевого індексу, ізоморфна і збігається зі своїм централізатором в. Наявність такої нормальної підгрупи в абстрактній групі є і достатньою умовою того, щоб група була ізоморфна кристалографічної групі.
Група лінійних частин кристалографічної групи зберігає грати; іншими словами, в базисі решітки перетворення з записуються цілочисельними матрицями.
Число груп Правити
Число кристалографічних груп -мірного простору із збереженням орієнтації або без дається послідовностями A004029 і A006227. З точністю до еквівалентності є
- 17 плоских кристалографічних груп [1]
- 219 просторових кристалографічних груп;
- якщо ж розглядати просторові групи з точністю до спряженості за допомогою афінних перетворень, що зберігають орієнтацію. то їх буде 230.
- В розмірності 4 існує 4894 кристалографічних груп зі збереженням орієнтації, або 4783 без збереження орієнтації [2] [3].
Можливі симетрії Правити
Точкові елементи Правити
Елементи симетрії кінцевих фігур, які залишають нерухомою хоча б одну точку.
Всі можливі комбінації точкових елементів симетрії призводять до 10 точеним групам симетрії в 2-вимірному просторі і 32 точкових груп в 3-вимірному просторі.
У 4-вимірному просторі з'являється новий тип елементів симетрії - подвійні обертання в двох абсолютно перпендикулярних площинах. За рахунок цього збільшується кількість елементів симетрії, сумісних з трансляційної симетрією. Для просторів розмірності 4 і 5 в кристалі можливі точкові елементи симетрії з порядками 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10 і 12. Більш того, оскільки обертання в кожній з абсолютно перпендикулярних площин можуть проводитися в різні боки, з'являються енантіоморфниє пари точкових елементів симетрії (наприклад, подвійне обертання четвертого порядку, де комбінуються повороти на 90 ° в першій площині і на 90 ° в другій площині енантіоморфних подвійному обертанню четвертого порядку, де комбінуються повороти на 90 ° в першій площині і на -90 ° у другий) . Всі можливі комбінації точкових елементів симетрії в 4-вимірному просторі призводять до 227 4-мірним точкових груп, з яких 44 є енантіоморфних (тобто всього виходить 271 точкова група).
У 6-вимірному і 7-вимірному просторах в кристалі можливі точкові елементи симетрії з порядками 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 18, 20, 24 і 30 . [5] Див. також en: Crystallographic restriction theorem
трансляції Правити
У кристалографічних групах завжди присутні трансляції - паралельні переноси. при зсуві на які кристалічна структура сполучиться сама з собою. Трансляційна симетрія кристала характеризується гратами Браве. У 3-вимірному випадку все можливо 14 типів решіток Браве. У размерностях 4, 5 і 6 число типів решіток Браве одно 64, 189 і 841, відповідно [6]. З точки зору теорії груп, група трансляцій є нормальною абельовой підгрупою просторової групи, а просторова група є розширенням своєї подруппи трансляцій. Факторгруппа просторової групи по підгрупі трансляцій є одна з точкових груп.
Складні операції симетрії Правити
Повороти навколо осей з одночасним перенесенням на деякий вектор в напрямку цієї осі (гвинтова вісь) і відображення відносно площини з одночасним зсувом на деякий вектор, паралельний цій площині (площина ковзного відбиття). У міжнародній символіці гвинтові осі позначаються цифрою відповідної поворотної осі з індексом, що характеризує величину перенесення вздовж осі при одночасному повороті. Можливі гвинтові осі в 3-вимірному випадку: 21 (поворот на 180 ° і зсув на 1/2 трансляції), 31 (поворот на 120 ° і зсув на 1/3 трансляції), 32 (поворот на 120 ° і зсув на 2 / 3 трансляції), 41 (поворот на 90 ° і зсув на 1/4 трансляції), 42 (поворот на 90 ° і зсув на 1/2 трансляції), 43 (поворот на 90 ° і зсув на 3/4 трансляції), 61 . 62. 63. 64. 65 (поворот на 60 ° і зсув на 1/6, 2/6, 3/6, 4/6, і 5/6 трансляції, відповідно). Осі 32. 43. 64. і 65 енантіоморфних осях 31. 41. 62. і 61. відповідно. Саме за рахунок цих осей існує 11 енантіоморфних пар просторових груп - в кожній парі одна група є дзеркальним відображенням іншої.
Площині ковзного відображення позначаються в залежності від напрямку ковзання по відношенню до осей кристалічної комірки. Якщо ковзання відбувається уздовж однієї з осей, то площину позначається відповідною латинською літерою a. b або c. У цьому випадку величина ковзання завжди дорівнює половині трансляції. Якщо ковзання направлено по діагоналі грані або просторової діагоналі осередку, то площину позначається буквою n в разі ковзання дорівнює половині діагоналі, або d в разі ковзання рівного четветрі діагоналі (таке можливо тільки якщо діагональ центрована). Площині n і d також називаються кліноплоскостямі. d площині іноді називають алмазними площинами, оскільки вони присутні в структурі алмазу (англ. diamond - алмаз).
позначення Правити
нумерація Правити
Кристалографічні (просторові) групи з усіма притаманними їм елеменатамі симетрії зведені в міжнародному довіднику «Міжнародні кристалографічні таблиці» (англ. International Tables for Crystallography), що випускаються Міжнародним союзом кристалографії. Прийнято використання нумерації, наведеної в цьому довіднику. Групи нумеруються з 1 по 230 в порядку збільшення симетрії.
Символіка Германа - Могена Правити
Символ просторової групи містить символ решітки Браве (велику літеру P, A, B, C, I, R або F) і міжнародний символ точкової групи. Символ решітки Браве позначає наявність додаткових вузлів трансляції всередині елементарної комірки: P (primitive) - примітивна комірка; A, B, C (A-centered, B-centered, C-centered) - додатковий вузол в центрі грані A, B або C відповідно; I (I-centered) - об'емноцентрірованная (додатковий вузол в центрі осередку), R (R-centered) - двічі об'емноцентрірованная (два додаткових вузла на великий діагоналі елементарної комірки), F (F-centered) - гранецентрированная (додаткові вузли в центрах всіх граней).
Міжнародний символ точкової групи в загальному випадку формується з трьох символів, що позначають елементи симетрії, що відповідають трьом основним напрямкам в кристалічній комірці. Під елементом симетрії, що відповідає напрямку, розуміється або вісь симетрії, що проходить по цьому напряму, або перпендикулярна йому площину симетрії, або і те, і інше (в цьому випадку вони записуються через дріб, наприклад, 2 / c - вісь симетрії 2-го порядку і перпендикулярна їй площину ковзаючого відображення зі зрушенням в напрямку c). Під основними напрямками розуміють:
- напрямку базисних векторів осередки в разі триклинной, моноклінної і ромбічної сингонії;
- напрямок осі 4-го порядку, напрямок одного з базисних векторів в основі елементарної комірки і напрямок по діагоналі підстави осередки в разі тетрагональної сингонії;
- напрямок осі 3-го порядку або 6-го порядку, напрямок одного з базисних векторів в основі елементарної комірки і напрямок вектора по діагоналі елементарної комірки під кутом 60 ° до попереднього в разі гексагональної сингонії (сюди ж включається трігональная сингония, яка в цьому випадку наводиться до гексагональної орієнтації елементарної комірки);
- напрямок одного з базисних векторів, напрямок по просторової діагоналі елементарної комірки і напрямок по бісектрисі кута між базисними векторами.
Символи Германа-Могена зазвичай скорочують, видаляючи позначення відсутніх елементів симетрії за окремими напрямами, коли це не створює неоднозначності, наприклад, записують P4 замість P411. Також при відсутності неоднозначності опускають позначення осей другого порядку, яким перпендикулярні площині симетрії, наприклад, замінюють C на.
Символ Шёнфліса Правити
Символ Шёнфліса задає клас симетрії (основний символ і нижній індекс) і умовний номер групи в межах цього класу (верхній індекс).
- Сn - циклічні групи - групи з єдиним особливим напрямом, представленим поворотною віссю симетрії, - позначаються літерою С. з нижнім цифровим індексом n. відповідним порядком цієї осі.
- Сni - групи з єдиною інверсійної віссю симетрії супроводжуються нижнім індексом i.
- Cnv (від нім. Vertical - вертикальний) - також має площину симетрії, розташовану уздовж єдиною або головною осі симетрії, яка завжди мислиться вертикальної.
- Cnh (від нім. Horizontal - горизонтальний) - також має площину симетрії, перпендикулярну до головної осі симетрії.
- S2. S4. S6 (від нім. Spiegel - дзеркало) - групи з єдиною дзеркальної віссю симетрії.
- Cs - для площині невизначеною орієнтації, тобто не фіксованою через відсутність в групі інших елементів симетрії.
- Dn - є групою Сn з додатковими n осями симетрії другого порядку, перпендикулярними вихідної осі.
- Dnh - також має має горизонтальну площину симетрії.
- Dnd (від нім. Diagonal - діагональний) - також має має вертикальні діагональні площині симетрії, які йдуть між осями симетрії другого порядку.
- O, T - групи симетрії з декількома осями вищого порядку - групи кубічноїсингонії. Позначаються літерою О в разі, якщо вони містять повний набір осей симетрії октаедра, або буквою Т, якщо вони містять повний набір осей симетрії тетраедра.
- Oh і Th - також містять горизонтальну площину симетрії
- Td - також містить діагональну площину симетрії
n може дорівнювати 1, 2, 3, 4, 6.
Історія Правити
Походження теорії кристалографічних груп пов'язано з вивченням симетрії орнаментів () і кристалічних структур (). Класифікація всіх плоских (двовимірних) і просторових (тривимірних) кристалографічних груп була отримана незалежно Федоровим (1885), Шёнфлісом (1891) і Барлоу (1894). Основні результати для багатовимірних кристалографічних груп були отримані Бібербаха (нім) [8].
Див. Також Правити
Примітки Правити
література Правити
посилання Правити
Виділити Кристалографічна група і знайти в: