і якщо | z | <|z0 |, то ряд |z |/|z0 | n сходится, ибо является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии (ее знаменатель |z |/|z0 | n = |z |/|z0 | <1). Поэтому по признаку сравнения сходимости рядов из неравенства (32.5) следует, что сходится ряд |an zn |, т. е. ряд (32.2) абсолютно сходится (рис. 127).
Слідство відразу випливає з теореми: якщо в точці z0 ряд (32.2) розходиться, то при | z |> | z0 | він не може сходитися в точці z. так як тоді б він по доведеною теоремою сходився (і навіть абсолютно) в точці z0.
Розглянемо статечної ряд (32.2). Він свідомо сходиться в точці z = 0. Позначимо через X безліч всіх таких дійсних невід'ємних чисел xR. що при z = x ряд (32.2) збігається. Оскільки 0 X. то
X. нехай
Очевидно, 0 Якщо R = +, то точок zC таких, що | z |> R. немає. Якщо ж R <+ и zC таково, что |z |> R. то для будь-якої точки x такий, що R то покажемо, що ряд (32.2) збігається рівномірно в колі | z | З нерівності (32.7), згідно вишедоказанному властивості радіуса збіжності, випливає, що ряд (32.2) при z = r абсолютно сходиться, т. Е. Сходиться ряд | an r n. а тоді в силу ознаки рівномірної збіжності Вейерштрасса (п. 31.2) з нерівності (32.8) випливає, що ряд (32.2) рівномірно сходиться в колі z. | Z | Для дослідження його абсолютної збіжності застосуємо ознаку Даламбера (п. 30.4): Отже, ряд (32.9) збігається тільки при z = 0, а тому його радіус збіжності дорівнює нулю: R = 0. дорівнює +, так як в п. 31.1 було показано, що цей ряд сходиться при будь-якому zC. дорівнює 1, так як ряд (32.11) збігається при | z | <1 и расходится при |z |> 1 (п. 30.1. 30.2). На кордоні z. | Z | = 1> кола збіжності маємо | z | = 1 і, отже, послідовність членів ряду (32.11) не прагне до нуля, звідки випливає, що у всіх точках межі свого кола збіжності ряд (32.11) розходиться. радіус збіжності також дорівнює 1. Дійсно, при | z | <1 выполняется неравенство і, отже, відповідно до ознакою рівномірної збіжності Вейерштрасса, ряд (32.12) рівномірно, а отже, і просто сходиться. При | z |> 1 маємо | zn | / n 2 = +, т. Е. Не виконується необхідна умова збіжності ряду (див. Теорему 1 з п. 30.2), і, таким чином, ряд (32.12) при | z | > 1 розходиться. можна знайти, застосувавши ознака Даламбера: маємо Тому ряд (32.14) збігається при | z | <1 и расходится при |z |> 1. Таким чином, R = 1. Оскільки в силу визначення околиці точки всі крапки, досить близькі до цієї точки, належать її околиці, то радіус збіжності написаного ряду позитивний. причому, за умовою теореми ряд an R n сходиться. Оскільки цей ряд числовий, то його збіжність можна розглядати як рівномірну збіжність на відрізку [0, R]. послідовність і монотонна при будь-якому x [0, R]. Отже, в силу ознаки рівномірної збіжності Абеля (п. 31.3 *) ряд (32.2) рівномірно сходиться на відрізку [0, R]. Таким чином, ряди (32.17) і (32.18), що виходять з (32.16) відповідно за допомогою "формального інтегрування і диференціювання", мають ті ж радіуси збіжності, що і вихідний ряд. Інтегрування і диференціювання названо тут формальним, оскільки для функцій комплексного аргументу ці операції у нас не були визначені і вони були зроблені так, як якщо б an і z були дійсними числами. випливає, що якщо в точці z абсолютно сходиться ряд (32.16), то в цій точці абсолютно сходиться і ряд (32.17), а це означає, що радіус збіжності R1 ряду (32.17) незгірш від радіуса збіжності R ряду (32.16): R1> R. З нерівності же випливає, що якщо в точці z абсолютно сходиться ряд (32.18), то в цій точці абсолютно сходиться і ряд (32.16), т. е. R> R2. Покажемо тепер, що Візьмемо будь-яку точку z 0 всередині кола збіжності ряду (32.17) і доведемо, що в ній сходиться ряд (32.18). Оскільки | z | Запишемо абсолютну величину члена ряду (32.18) у такий спосіб: Покладемо q = | z / r |. В силу умови (32.22) 0 сходиться (в цьому легко переконатися, наприклад, за допомогою ознаки Даламбера). Тому послідовність його членів прагне до нуля і, отже, обмежена, т. Е. Існує така постійна c> 0, що для всіх n = 0, 1, 2. виконується нерівність З (32.23) і (32.24) слід нерівність Оскільки rR1. то ряд r n +1 абсолютно сходиться, т. е. сходиться ряд r n +1, а тому за ознакою порівняння збігається і ряд nan z n -1. Отже, з умови | z |
Теорема 2. ПустьR - радіус збіжності ряду (32.2). Тоді якщо | z |
Якщо R = 0, то точок zC таких, що | z |
Розглянемо статечної ряд загального вигляду an (z - z0) n. Він сходиться або розходиться в точці z тоді і тільки тоді, коли відповідно сходиться або розходиться в точці = z - z0 ряд an. Радіус збіжності R останнього ряду називається і радіусом збіжності вихідного ряду an (z - z0) n.
При заміні змінного = z - z0 колі збіжності <: | |
З теореми 2 випливає, що якщо R є радіусом збіжності ряду an (z - z0) n. то при | z - z0 |
Відзначимо, що з рівномірною збіжність ряду (32.1) в будь-якому колі | z - z0 |
Дійсно, для будь-якого z. | Z |
1. Розглянемо ряд
2. Радіус збіжності R ряду
3. Радіус збіжності суми нескінченної геометричної прогресії
4. У ряду
Відзначимо, що у всіх точках кордону кола збіжності, т. Е. При | z | = 1, в силу того ж нерівності (32.13) ряд (32.12) збігається.
5. Радіус збіжності R ряду
У точці z = 1 кордону кола збіжності ряд (32.14) перетворюється в гармонійний ряд і, отже, розходиться, а при z = -1 виходить сходиться ряд (-1) n / n. Отже, у ряду (32.14) на кордоні кола збіжності є як точки, в яких він сходиться, так і точки, в яких він розходиться. Розбирання приклади показують, що існують поважні ряди, у яких радіус збіжності дорівнює нулю (ряд (32.9)), дорівнює кінцевому позитивному числу (ряд (32.11)) і дорівнює нескінченності (ряд (32.10)). На кордоні кола збіжності ряд може у всіх точках сходитися (ряд (32.12)), а може і сходитися в одних точках і розходитися в інших (ряд (32.14)) або розходитися у всіх точках (ряд (32.11)).
Функції, що розкладаються в статечні ряди, називаються аналітичними. Точніше, має місце наступне
Визначення 2. Функція f називається аналітичною в точці z0. якщо в деякій околиці (див. п. 5.11) цієї точки функція f розкладається в степеневий ряд:
Теорема 3 * (друга теорема Абеля). ЕсліR - радіус збіжності степеневого ряду (32.2), R <+ , и этот ряд сходится приz = R. то он сходится равномерно на отрезке [0,R ] действительной оси .
Слідство. Якщо ряд (32.2) збігається пріz = R. то його сума неперервна на відрізку [0, R] дійсної осі.
Доказ теореми. маємо
Затвердження слідства випливає з безперервності кожного члена ряду (32.2) на відрізку [0, R] і доведеною рівномірної збіжності цього ряду на зазначеному відрізку. Доведемо ще одну лему для статечних рядів в комплексній області, яка буде використана в наступному параграфі.
Лемма 1. Радіуси сходімостіR. R1 і R2соответственно рядів
з нерівності
Таким чином,
Схожі статті