Опр. Рангомr системи векторів називається максимальне число лінійно незалежних векторів системи.
Опр. Базисом системи векторів називається максимальна лінійно незалежна підсистема даної системи векторів.
Зокрема, будь-яка сукупність п лінійно незалежних векторів п -мірного простору є базисом.
Теорема. Будь-вектор системи можна єдиним чином представити у вигляді лінійної комбінації векторів базису цієї системи.
Док-во. Нехай система має базис.
1) Нехай вектор з базису (наприклад, це). Тоді.
2) Нехай вектор не з базису. Наприклад, це вектор. де р> к.
Розглянемо систему .Вона є лінійно залежною. Отже, знайдуться числа. не всі рівні нулю, такі, що. Очевидно, що . тому в іншому випадку базис був би лінійно залежним. тоді
3) доведемо, що розкладання вектора по базису єдино.
Припустимо гидке: є два розкладання вектора по базису:
Віднімаючи ці рівності, отримаємо:
З огляду на лінійну незалежність векторів базису, отримаємо:
Отже, розкладання єдине. ▲
Ранг п -мірного простору дорівнює його розмірності. Значить, будь-який його базис складається з п лінійно незалежних п -мірних векторів. Будь-яка система в п -мірному просторі, що містить більше, ніж п векторів, лінійно залежна. Будь-вектор простору можна однозначно розкласти по векторах будь-якого базису. Коефіцієнти розкладання називаються координатами даного вектора в цьому базисі.