З теоретичної фізики
Студента V курсу фізико-математичного факультету, гр. ОФ-61
Філатова Олександра Сергійовича
Тема: «Канонічні перетворення. Функція Гамільтона-Якобі. Поділ змінних »
Мети. Розвинути навички використання канонічних перетворень. Закріпити вміння здійснювати перетворення Лежандра для переходу до виробляє функції від необхідних змінних. Навчити використовувати метод Гамільтона-Якобі при вирішенні завдань з поділом змінних. Сформувати розуміння суті й могутності методу. Виховувати працелюбність, старанність.
Тип заняття. практичне.
хід заняття
Короткі теоретичні відомості
Канонічні перетворення змінних # 150; це такі перетворення, при яких зберігається канонічний вид рівнянь Гамільтона. Перетворення виробляють за допомогою виробляє функції, яка є функцією координат, імпульсів і часу. Повний диференціал виробляє функції визначається наступним чином:
Вибираючи виробляє функцію від тих чи інших змінних, отримуємо відповідний вид канонічних перетворень. Зауважимо, що якщо приватна похідна буде братися за "малим". то будемо отримувати мале. якщо ж по "великим". то і отримувати будемо відповідно.
При розгляді дії, як функції координат (і часу), слід вираз для імпульсу:
З подання повної похідної дії за часом слід рівняння Гамільтона-Якобі:
Тут дія розглядається як функція координат і часу.
Шляхом інтегрування рівняння Гамільтона-Якобі. знаходять уявлення дії у вигляді повного інтеграла, який є функцією s координат, часу, і s +1 постійних (s # 150; число ступенів свободи). Оскільки дія входить в рівняння Гамільтона-Якобі тільки у вигляді похідної, то одна з констант міститься в повному інтегралі адитивним чином, тобто повний інтеграл має вигляд:
Константа А не відіграє суттєвої ролі, оскільки дія входить всюди лише у вигляді похідної. А визначає, що, фактично, лише s констант змінюють дію істотно. Ці константи визначаються початковими умовами на рівняння руху, які для будь-якого значення А будуть мати однаковий вид, як і саме рівняння Гамільтона-Якобі.
Для того щоб з'ясувати зв'язок між повним інтегралом рівняння Г.-Я. і цікавлять нас рівняннями руху, необхідно провести канонічне перетворення, вибравши повний інтеграл дії в якості виробляє функції.
Константи будуть виступати в якості нових імпульсів. Тоді нові координати
теж будуть константи, оскільки
Висловлюючи з рівняння координати у вигляді функцій від. ми і отримаємо закон руху:
Рішення завдання на знаходження залежності істотно спрощується в разі поділу змінних. Таке можливо, коли якась координата може бути пов'язана лише з відповідним їй імпульсом і не пов'язана ні з якими іншими імпульсами або координатами, що входять рівняння Г.-Я. Зокрема ця умова виконується для циклічних змінних.
Отже, знаходження рівнянь руху методом Гамільтона-Якобі зводиться до наступного:
- скласти функцію Гамільтона;
- записати рівняння Г.-Я. і визначити які змінні розділяються;
- Шляхом інтегрування рівняння Г.-Я. отримати посвідку повного інтеграла;
- Скласти систему s рівнянь, і отримати закон руху;
- За необхідності знайти закон зміни імпульсів. Для чого продифференцировать повний інтеграл по координатах. а потім підставити їх явний вигляд, отриманий в пункті 4.
Приклади розв'язання задач
№11.14 [] Як відомо, заміна функції Лагранжа на
де # 150; довільна функція, не змінює рівнянь Лагранжа. Показати, що це перетворення є канонічним, і знайти його виробляє функцію.
Перепишемо штрихованої функцію Лагранжа, представивши повну похідну функції через приватні:
Функції Гамільтона, відповідні штрихованої і не штрихованої функцій Лагранжа, визначаються наступним чином:
Розпишемо. використовуючи уявлення штрихованої функції Лагранжа.
Підставляючи формули і в вираз для штрихованої функції Гамільтона. отримаємо:
Взаємно скоротивши другий доданок з останнім, враховуючи залежність. отримаємо:
Але згідно з канонічними перетворенням з виробляє функцією Ф.
Отримане співвідношення визначає умова на тимчасову частину виробляє функції канонічного перетворення, відповідного перетворення функції Лагранжа.
Оскільки вид узагальнених імпульсів і координат при перетворенні функції Лагранжа не змінився, координатно-імпульсна частина виробляє функції повинна відповідати тотожному канонічного перетворення. Як було показано в задачі №9.32 [] (д / з пред. Заняття), яка виробляє функція визначає тотожне канонічне перетворення з незмінним гамильтонианом, має вигляд:
З огляду на умову на тимчасову частину виробляє функції, остаточно отримаємо:
Отримана що виробляє функція визначає тотожне канонічне перетворення з заміною функції Гамільтона відповідної заміни функції Лагранжа.
Завдання. Система, що складається з двох кульок масами. з'єднаних невагомою пружиною, розташованої вертикально, починає рухатися в поле сил тяжіння. Довжина пружини -. Провести канонічне перетворення і записати нову функцію Гамільтона, відповідні виробляє функції
Складемо функцію Гамільтона системи:
Тут потенційна енергія складається з енергії гармонійних коливань і потенційної енергії кульок в полі сил земного тяжіння. За визначенням потенційного поля:
Ми маємо справу з одновимірним рухом, тому градієнт у формулі замінюється похідною по х. У той же час сила, є сумарною силою тяжіння. Беручи до уваги принцип суперпозиції гравітаційного поля, проинтегрируем останнє рівняння:
Значення зміщення пружини від положення рівноваги буде визначатися таким чином:
Підставивши вирази і в формулу. отримаємо вид функції Гамільтона, вираженої через імпульси і координати явно:
Перехід до нових канонічним змінним проводиться у разі, коли можливо спростити вид функції Гамільтона, а відповідно і виходять з неї рівнянь руху.
У даній ситуації зручно вибрати нові координати так, щоб одна описувала рух центру мас системи, а друга коливання пружини у власній системі відліку. Переконаємося, що задана в умови виробляє функція відповідає саме такому перетворенню.
Нова координата таке саме, як зміщення пружини від положення рівноваги.
Нова координата таке саме, як положення центру мас системи.
Склавши обидва рівняння, отримаємо:
# 150; приведена маса.
Запишемо функцію Гамільтона в нових змінних:
# 150; сумарна маса системи.
Дійсно, функція Гамільтона в нових змінних розпалася на дві частини, що відповідає двом парам канонічних рівнянь. Одна частина описує коливання кульок у власній системі відліку, інша # 150; рух системи як цілого в полі сил тяжіння.
№9.21 [] Знайти повний інтеграл рівняння Г.-Я. і закон вільного руху матеріальної точки.
1. Складемо функцію Гамільтона вільної частинки:
2. Запишемо рівняння Г.-Я.
3. Зробимо поділ змінних і проинтегрируем за часом.
Використовуємо початкова умова:
Тоді підставляючи вид функції S в рівняння Г.-Я. Останнім набуде вигляду:
Отже, повний інтеграл рівняння Г.-Я.
4. Закон руху визначається з канонічного перетворення:
Звідки сам закон руху:
5. Імпульс вільно рухається матеріальної точки визначається наступним чином:
Дійсно, частка в відсутності зовнішнього поля рухається з постійним імпульсом.
Домашнє завдання:
№11.2 [] Знайти виробляє функцію виду. приводить до того ж канонічного перетворення, що і.
№9.38 [] Знайти рівняння, якому задовольняє що виробляє функція. породжує канонічне перетворення до постійних імпульсів і координат.
№9.23 [] Знайти повний інтеграл рівняння Г.-Я. для тіла, що рухається по гладкій похилій площині, що становить кут з горизонтом.
№12.1 a) [] Знайти траєкторію і закон руху частинки в полі
література:
- Л.Д. Ландау, Е.М. Ліфшиц «Механіка, електродинаміка», - М. «Наука», 1969 г. - 272 с.
- Л.Д. Ландау, Е.М. Ліфшиц «Механіка», - М. «Наука», 1965 г. - 204 с.
- І.І. Ольховський, Ю.Г. Павленко, Л.С. Кузьменков «Завдання з теоретичної механіки для фізиків». - М. 1977 г. - 389 с.
- Г.Л. Коткін, В.Г. Сербо «Збірник завдань з теоретичної механіки», - М. «Наука», 1977 г. - 320 с.
- І.В. Мещерський «Збірник завдань з теоретичної механіки», - М. «Наука», 1986 р - 448 с.
- Л.П. Гречко, В.І. Сугаков, О.Ф. Томасевич, А.М. Федоренко «Збірник завдань з теоретичної фізики», - М. «Вища школа» 1984 г. - 319 с.
Студент-практикант: Філатов А.С.