1. Нерівність виду $$ \ left | \ Right | \ Le a $$
- якщо a <0 - решения нет.
- якщо a = 0 - рішенням нерівності $$ \ left | \ Right | \ Le a $$ буде рішення рівняння f (x) = 0.
- якщо a> 0 - рішенням нерівності $$ \ left | \ Right | \ Le a $$ буде рішення равносильной системи $$ \ left \<\begin f(x) \le a; \\ f(x) \ge - a. \\ \end \right. $$
2. Нерівність виду $$ \ left | \ Right |
- якщо a <0 - решения нет.
- якщо a = 0 - рішення немає.
- якщо a> 0 - рішенням нерівності $$ \ left | \ Right | - a. \\ \ end \ right. $$
3. Нерівність виду $$ \ left | \ Right | \ Ge a $$
- якщо a <0 - неравенство $$ \left| \right| \ge a $$ верно для любых х из области определения f(x) .
- якщо a = 0 - нерівність $$ \ left | \ Right | \ Ge a $$ вірно для будь-яких х з області визначення f (x).
- якщо a> 0 - рішенням нерівності $$ \ left | \ Right | \ Ge a $$ буде рішення равносильной сукупності $$ \ left [\ begin f (x) \ ge a; \\ f (x) \ le - a. \\ \ end \ right. $$
4. Нерівність виду $$ \ left | \ Right |> a $$
- якщо a <0 - неравенство $$ \left| \right|> a $$ вірно для будь-яких х з області визначення f (x).
- якщо a = 0 - рішенням нерівності $$ \ left | \ Right |> a $$ буде рішення равносильной системи $$ \ left \<\begin f(x) \ne 0; \\ x \in D(f). \\ \end \right. $$
- якщо a> 0 - рішенням нерівності $$ \ left | \ Right |> a $$ буде рішення равносильной системи $$ \ left \<\begin f(x)> a; \\ f (x) <- a. \\ \end \right.$$
- якщо g (x) <0 - решения нет.
- якщо g (x) = 0 - рішення немає.
- якщо g (x)> 0 - рішенням нерівності $$ \ left | \ Right | - g (x). \\ \ end \ right. $$
6. Нерівність виду $$ \ left | \ Right | \ Le g (x) $$
- якщо g (x) <0 - решения нет.
- якщо g (x) = 0 - рішенням нерівності $$ \ left | \ Right | \ Le g (x) $$ буде рішення рівняння f (x) = 0.
- якщо g (x)> 0 - рішенням нерівності $$ \ left | \ Right | \ Le g (x) $$ буде рішення равносильной системи $$ \ left \<\begin f(x) \le g(x); \\ f(x) \ge - g(x). \\ \end \right.$$
7. Нерівність виду $$ \ left | \ Right |> g (x) $$
- якщо g (x) <0 - неравенство $$ \left| \right|> g (x) $$ вірно для будь-яких х з області визначення f (x) і g (x).
- якщо g (x) = 0 - рішенням нерівності $$ \ left | \ Right |> g (x) $$ буде рішення равносильной системи $$ \ left \<\begin f(x) \ne 0; \\ x \in D(f); \\ x \in D(g). \\ \end \right.$$
- якщо g (x)> 0 - рішенням нерівності $$ \ left | \ Right |> g (x) $$ буде рішення равносильной сукупності $$ \ left [\ begin f (x)> g (x), \\ f (x) <- g(x). \\ \end \right.$$
8. Нерівність виду $$ \ left | \ Right | \ Ge g (x) $$
- якщо g (x) <0 - неравенство $$ \left| \right| \ge g(x)$$ верно для любых х из области определения f(x) и g(x) .
- якщо g (x) = 0 - нерівність $$ \ left | \ Right | \ Ge g (x) $$ вірно для будь-яких х з області визначення f (x) і g (x).
- якщо g (x)> 0 - рішенням нерівності $$ \ left | \ Right | \ Ge g (x) $$ буде рішення равносильной сукупності $$ \ left [\ begin f (x) \ ge g (x), \\ f (x) \ le - g (x). \\ \ end \ right. $$
9. Нерівність виду $$ \ left | \ Right | \ Vee \ left | \ Right | $$
Рішення: Звести обидві частини нерівності $$ \ left | \ Right | \ Vee \ left | \ Right | $$ в квадрат, розкласти на множники за формулою різниці квадратів і застосувати метод інтервалів.
Зауваження. Рішення виглядати так: $$ \ left | \ Right | \ Vee \ left | \ Right | \ Leftrightarrow \ left (\ right |> \ right) ^ 2 \ vee \ left (\ right |> \ right) ^ 2 \ Leftrightarrow f ^ 2 (x) \ vee g ^ 2 (x) \ Leftrightarrow f ^ 2 ( x) - g ^ 2 (x) \ vee 0 \ Leftrightarrow \ left (\ right) \ left (\ right) \ vee 0 $$