Рішення позиційних і метричних задач, контент-платформа

Саратовський державний технічний університет

Розв'язанням позиційних І

до виконання розрахунково-графічної роботи з дисципліни «Нарисна геометрія»

для студентів спеціальності 280201.65

і напрямків 240100.62, 150600.62

Пропоноване методична розробка призначена для студентів очного і заочного навчання спеціальності 280201.65 «Охорона навколишнього середовища та раціональне використання природних ресурсів», напрямків 240100.62 «Хімічна технологія та біотехнологія» і 150600.62 «Матеріалознавство і технологія нових матеріалів».

При виконанні студентами розрахунково-графічної роботи зустрічаються істотні труднощі, тому в організації самостійної роботи основним завданням викладача є надання методичної допомоги студенту.

В даному методичному вказівці інформаційний матеріал проілюстрований, розроблені приклади розв'язання задач з докладними поясненнями.

Зображення, побудовані за правилами, що вивчаються в нарисної геометрії, дозволяють уявити подумки форму предметів і їх взаємне розташування в просторі, визначити їх розміри.

Правила побудови зображень засновані на методі проекцій. Розгляд методу проекцій починають з побудови проекцій точок, так як при побудові зображення будь-просторової форми розглядається ряд точок, що належать цій формі.

Зображення предмета на кількох сполучених площинах називають комплексним кресленням (епюри). На рис. 1 зображено наочне зображення точки і епюр.

А2 АХ - висота точки А;

А1 АХ - глибина точки А;

А1Ау - ширина точки А.

На рис. 2 виконаний епюр точки В Є П2 (точка В лежить в площині П2). Глибина точки (Ув) дорівнює нулю.

На рис. 3 показана точка С Є Z (точка С належить осі Z), точка С не має глибини і ширини.

Пряма загального положення - пряма не паралельна жодної з площин проекцій, на рис. 4 зображені три проекції відрізка АВ прямої загального положення.

Прямі приватного положення - прямі рівня і проектують прямі.

Пряма рівня - пряма, паралельна одній площині проекцій (рис. 5).

Проектує пряма - пряма, перпендикулярна площині проекцій (рис. 6).

АВ # 1472; # 1472; П1; А2В2 # 1472; # 1472; Х12, т. Е. Za = Zв; А1В1 - натуральна величина відрізка; # 945; - кут нахилу АВ до П2.

АВÖП1; А1В1 - вироджена проекція, А2В2 # 1472; # 1472; Z, А3В3 # 1472; # 1472; Z.

Площина загального положення - площину не паралельно жодної з площин проекцій (рис. 7).

Площині приватного положення:

а) площині рівня - площині, паралельні одній площині проекцій (рис. 8);

б) проектують площині - площині, перпендикулярні площини проекцій (рис. 9).

На рис. 8 # 945;ÖП1. Проектує площину зображується прямою лінією на тій площині проекції, до якої вона перпендикулярна.

# 946; ° - кут нахилу площини # 945; до площини П2.

На рис. 9 # 945; # 1472; # 1472; П1, # 8710; АВС проектується на площину П1 без спотворення.

Відносне положення точки і прямої

Якщо точка А належить прямій, то її проекції лежать на однойменних проекціях прямої (рис. 10).

А Є b, т. К. А1 Є b1, А2 Є b2.

Відносне положення точки, прямої і площини.

а) пряма належить площині, якщо вона проходить через 2 точки, що лежать цій площині (рис. 11).

б) точка належить площині, якщо вона належить прямій лежить в цій площині (рис. 12).

а Є # 945; (m # 9553; n), А Є # 945 ;, т. К. А Є а.

ГОЛОВНІ ЛІНІЇ ПЛОЩИНІ

Горизонталь - пряма, що лежить в площині і паралельна площині П1. Позначається горизонталь - h (рис. 13).

через точки А1 і 11 проводимо h1.

Фронталь - пряма, що лежить в площині і паралельна площині П2. Позначається фронталь - f (рис.14).

проводимо f2 через точки 12 і С2.

МЕТРИЧНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРЯМИЙ

Натуральна величина відрізка прямої

і кути нахилу її до площин проекцій

Натуральна величина прямих приватного положення визначається проекціями цих прямих.

Натуральну величину прямої загального положення можна визначити за допомогою прямокутного трикутника (рис. 15).

Відрізок АВ займає загальне положення. У площині АА1ВВ1, що займає горизонтально проецирующее положення побудуємо відрізок АС # 9553; А1 В1, отримаємо прямокутний трикутник АВС. У прямокутному трикутнику АВС катет АС = А1 В1; катет ВС = ВВ1-А1 А1; ВВ1 = Zв; Аа1 = Zа; звідси випливає, що натуральна величина відрізка АВ є гіпотенуза прямокутного трикутника, один катет якого дорівнює проекції відрізка, а другий - різниця відстаней кінців відрізка до відповідної площини проекції. a ° - кут нахилу відрізка АВ до площини П1. Побудова натуральної величини відрізка на епюрі показано на рис. 16.

Щоб визначити кут нахилу відрізка АВ до площини П2 (кут b), треба побудувати прямокутний трикутник, один катет якого -фронтальні проекція відрізка, а другий різниця відстаней кінців відрізка АВ до площини П2.

(Метод заміни площин проекцій)

Суть методу заміни площин проекцій полягає в тому, що положення геометричної фігури не змінюється, а вводиться нова додаткова площину, щодо якої геометрична фігура займає приватна положення.

Розглянемо шість типових завдань, що вирішуються шляхом заміни.

Завдання 1: відрізок АВ прямої загального положення перевести в положення рівня.

Введемо нову додаткову площину П4, паралельну відрізку АВ, за умови П4 ^ П1. У новій системі площин проекція А1 В1 на площині П1 залишиться колишньою, а проекція на П4 буде А4В4. При заміні площин П2 на П4 не змінюються відстані від точок А і В до площини П1 (висоти точок ZA і ZB).

При обраному нами положенні площині П4 нова вісь Х14 розташовується паралельно А1В1, а нова проекція А4В4 може бути побудована на епюрі, якщо на відповідних лініях зв'язку точок А і В відкласти від осі, висоти точок Zа і Zв (рис. 17).

Завдання 2: пряму рівня перевести в проецирующее положення (рис. 18).

Проводиться вісь Х14 ^ А1В1 на будь-якій відстані від проекції А1В1 по лінії зв'язку відкладемо відстань (Zа = Zв).

Завдання 3: пряму загального положення перевести в проецирующее положення.

Для вирішення цього завдання треба послідовно провести дві заміни (т. Е. Вирішити спочатку задачу 1, потім завдання 2) (рис. 19).

Так, щоб відрізок АВ прямої загального положення зробити горизонтально проецирующим, спочатку переходимо до системи (), перетворюючи пряму в пряму, паралельну площині П4, а потім від системи переходимо до системи, зробивши відрізок АВ прямої перпендикулярним до площини П5.

Завдання 4: площину загального положення перевести в проецирующее положення (рис. 20).

Для вирішення завдання побудуємо в # 8710; АВС горизонталь h, перетворимо систему в систему; П4 перпендикулярна до площини # 8710; АВС; на кресленні проводимо вісь Х14 h1.

- кут нахилу площини до площини П1.

Завдання 5: проецирующую площину перевести в положення рівня (рис. 21).

Замінимо площині П1 на П4; П4 розташована паралельно площині # 8710; АВС. Проводимо вісь Х14 паралельно А1У1С1.

Завдання 6: площину загального положення перевести в положення рівня (рис. 22).

Щоб вирішити це завдання треба два перетворення, т. Е. Вирішити задачу 4, а потім завдання 5.

Основні метричні задачі

Завдання: а) Визначити відстань від точки до прямої. Щоб вирішити це завдання треба перейти з системи до системи. т. е. перетворивши відрізок АВ прямої у фронтальне положення, а потім перейшовши в нову систему перетворимо відрізок прямої в проецирующее положення. Шукане відстань дорівнює відрізку.

а) пряма займає приватна положення - положення рівня (рис. 23).

В цьому випадку необхідно перевести задану горизонтальну пряму у фронтально проецирующее положення. Шукане відстань між точкою і прямою є відстань між вироджених проекцією прямої і точкою.

б) пряма займає загальне положення (рис. 24).

Щоб вирішити це завдання треба виконати дві заміни.

Завдання: Визначити відстань між двома паралельними прямими.

а) прямі приватного положення.

Задані фронтальні прямі перевести в горизонтально проецирующее положення. Побудувати нову площину П4 АВ (СД). На кресленні провести вісь Х24 А2В2. Шукана натуральна величина відстані між прямими дорівнює відстані між виродженими проекціями прямих на площині П2 (рис. 25).

б) прямі загального положення (рис. 26).

Дані прямі переведені в проецирующее положення.

При першій заміні нова площина розташовується паралельно заданим прямим і перпендикулярно до П1, а при другій заміні нова площина розташована перпендикулярно до прямих. Відрізок між виродженими проекціями прямих є шуканої натуральної величиною відстані між даними прямими.

Завдання: визначити відстань між перехресними прямими

а) одна з прямих займає проецирующее положення (рис. 27).

б) обидві прямі займають загальне положення (рис. 28).

План виконання завдання зводиться до визначення відстані між вироджених проекцією одній прямій на площину, перпендикулярну до неї, і проекцій інший прямий на цю площину.

Для перетворення однієї з прямих в проецирующую на епюрі проводимо послідовну заміну обох заданих площин проекцій.

Задані прямі АВ і СД спочатку спроектовані на нову площину П4, паралельну прямий СД. Потім прямі АВ і СД спроектувати на нову площину П5, перпендикулярну до тієї ж прямої СД. На площину П5 пряма СД проектується в точку (С5Д5). а відстань між проектується С5Д5 і А5В5 є шуканої величиною відстані між даними АВ і СД.

Завдання: визначити відстань від точки до площини, що займає проецирующее відстань (рис. 29).

Щоб визначити відстань від точки до проецирующей площині, треба опустити перпендикуляр з точки на вироджену проекцію площини (з горизонтальної проекції К1 опускаємо перпендикуляр на А1У1С1)

Завдання: визначити відстань від точки до площини загального положення (рис. 30).

Щоб визначити відстань від точки К до площини загального положення заданої трикутником АВС, замінюємо одну з площин проекцій в системі так, щоб в новій системі трикутник зайняв проецирующее положення. Проводимо через вершину С # 8710; АВС горизонталь h. Потім вводимо нову площину П4. перпендикулярну до площини # 8710; АВС, на епюрі проводимо вісь Х14 h1, будуємо проекцію трикутника А4В4С4 і потім з точки К4 опускаємо перпендикуляр на вироджену проекцію трикутника. l - шукана натуральна величина відстані від точки К до площини. Одночасно визначимо кут нахилу (# 945; °) # 8710; АВС до площини проекцій П1.

ВИЗНАЧЕННЯ двогранного кута

Двогранний кут між двома пересічними площинами вимірюється лінійним кутом (рис. 31).

Завдання: визначити двогранний кут, утворений перетином площин трикутників АВС і ДВС (рис. 32,33).

При вирішенні завдання треба визначити, яке положення займає загальне ребро двогранного кута:

а) приватна положення - одна заміна (рис. 33);

б) загальне положення - дві заміни (рис. 32).

Загальна ребро треба в обох випадках перетворити в точку, а кожна з проекцій трикутників є виродження (прямий). кут ß° між ними визначає величину двогранного кута між заданими плоскими фігурами.

1) за заданими координатами побудувати 2 проекції трикутника АВС і відрізка прямої DЕ;

2) визначити точку перетину DЕ з площиною трикутника АВС, показати видимість DЕ.

1) визначити натуральну величину трикутника АВС методом заміни площин проекцій і кут (# 945; # 730;) нахилу трикутника АВС до площини П1.

1) побудувати лінію перетину піраміди з площиною загального положення;

2) побудувати розгортку піраміди з нанесенням лінії перетину.

1) визначити натуральну величину двогранного кута, утвореного бічними гранями піраміди.

Вказівки до вирішення завдань РГР:

Робота виконується в масштабі 1: 1, на ватмані формат А3, варіанти завдань наведені у додатку 1 (табл. П1 і табл. П2).

Зразок виконання РГР 1 дан в додатках 2-5.

Схожі статті