ГЛАВА 2. Плоска ХВИЛЯ
Рівняння плоскої хвилі
Припустимо, що в будь-якій площині, перпендикулярній до осі х, все величини, що характеризують хвильовий рух в даний момент часу, однакові і зміна стану руху відбувається тільки при переході від однієї площини до іншої. В цьому випадку похідні і в рівнянні (1,14) дорівнюють нулю, а залежить тільки від Хвильовий процес буде описуватися рівнянням:
Це - хвильове рівняння для плоскої хвилі. Вид цього рівняння показує, що всі рухи відбуваються лише в напрямку осі х, так як швидкість) завжди дорівнюють нулю. Для вирішення рівняння (2,1) введемо, згідно з методом д'аламбера, нові змінні:
і рівняння після скорочення набуде вигляду:
Інтегруючи його, знайдемо, що довільна функція від Вторинне інтегрування дає:
де позначено через а довільна функція з'являється як довільна стала інтегрування по Повертаючись до змінним отримаємо:
де абсолютно довільні функції від аргументів заданого виду. Таким чином, загальне рішення хвильового рівняння характерно не видом функції, а видом аргументу складеного з змінних
З рівняння (2,2) знайдемо, відповідно до формул (1,9) і (1,10):
де похідні функції по їх аргументу. Отже, виражаються формулами того ж типу, як двома довільними функціями.
Нехай в початковий момент в середовищі в інтервалі від до створено таке обурення, що швидкості в цьому інтервалі дорівнюють нулю, а тиск дорівнює Умови в початковий момент можуть бути самими різними; вони називаються початковими умовами. Перше з рівнянь (2,3) дозволяє тоді зробити висновок, що в інтервалі від до а при Отже, згідно з другим рівнянням (2,3), складається з двох рівних частин і в інтервалі х від до при
Перша частина імпульсу в момент дасть при значеннях аргументу лежать в інтервалі від а до т. Е. Між точками з абсциссами (рис. 2). Іншими словами, перша частина імпульсу просунеться, не змінюючи своєї форми, на відстань у напрямку позитивної осі х.
Друга частина імпульсу дасть в інтервалі аргументу від до або від до ця частина імпульсу, не змінюючи своєї форми, просунеться на відрізок в напрямку
отрідательной осі х. Швидкість буде мати значення і в області кожного з двох імпульсів окремо і буде дорівнює нулю в тій частині простору, де імпульси накладаються один на одного. На рис. 2 показано положення і величина складових тиску сумарного імпульсу в початковий і в два наступних моментів часу.
Якщо в початковий момент часу є деякий довільної форми імпульс тиску (або швидкості заданий в функції від х, то з рівнянь (2,3) можна визначити обидві довільні функції взагалі кажучи, не рівні один одному. З плином часу імпульси виду будуть переміщатися, що не змінюючи форми, перший у напрямку а другий у напрямку
З наведеного міркування абсолютно ясно, що деяка фаза будь-якого імпульсу, відповідна значенню а аргументу функцій або (початок, кінець, максимум або інша характерна точка в разі імпульсу складного виду) за час від до Для першої частини імпульсу, яка виражається функцією від аргументу переміститься з положення а в положення. Для другої частини, яка виражається функцією аргументу з положення в положення
Таким чином, для першої частини імпульсу, що поширюється у напрямку маємо:
а для другої частини імпульсу, що поширюється у напрямку - х,
З цих виразів абсолютно ясно, що введена раніше величина має фізичний сенс швидкості поширення довільного імпульсу, що виник в будь-якому шарі середовища. Якщо від частоти не залежать, то і швидкість з не залежить від частоти, т. Е. Дисперсії звукових хвиль немає. В області ультразвукових хвиль х в газах істотно залежить від частоти, внаслідок чого з'являється дисперсія. Висновки про незмінність форми імпульсу відносяться в однаковій мірі до імпульсу тиску або імпульсу швидкості частинок, а також і до імпульсу, який містить поєднання того й іншого, і справедливі, якщо відсутня дисперсія. Будь-яка (плоска) деформація середовища, що виникла в деякому шарі в початковий момент часу, передається у вигляді двох імпульсів, що розбігаються в протилежні боки зі швидкістю с, причому форма імпульсів, т. Е. Вид функції і при поширенні не змінюється. Такий процес поширення деформацій в пружною середовищі називається плоскою хвилею. Так як швидкості коливання частинок спрямовані по лінії поширення хвиль, то в даному випадку ми маємо поздовжні хвилі.
Коли імпульс виникає в газі близько жорсткої стінки, що збігається з площиною хвильової процес не може поширюватися за напрямком негативною осі х і рішення хвильового рівняння може бути написано у формі:
Якщо рух середовища на твердій кордоні (або вид функції при) задано в функції часу, то вид функції буде відомий і хвильової процес буде цілком визначений у всіх інших точках середовища в будь-який момент часу. Таким чином, в даному випадку для повного визначення виду хвильового процесу не треба задавати двох незалежних початкових умов для тиску і швидкості частинок, а досить задати лише одне граничне умова або для
або для так як ці величини, як це видно з рівнянь, пов'язані один з одним.
Якщо функція періодична, наприклад або то отримаємо періодичний хвильовий процес, який біжить в обидві сторони від площини збудження зі швидкістю с.
Рівняння (2,4) описує хвилю, що поширюється тільки по напрямку Розділивши рівняння на одержимо:
У біжучому хвилі при будь-якій формі імпульсу (а також і в періодичному процесі), тиск в будь-якій точці пропорційно швидкості частинок і знаходиться з нею в однаковій фазі.