Функціональний ряд називається рівномірно збіжним на відрізку [a. b], якщо для будь-якого e> 0 можна знайти такий номер N. що при n> N і будь-якому х на відрізку [a. b] буде виконано нерівність.
Ознака рівномірної збіжності Вейертрасса. Функціональний ряд сходиться абсолютно і рівномірно на відрізку [a. b], якщо існує сходиться числовий ряд з додатними членами такої, що.
Ряд називається мажорірующім (підсилює), або мажоранту.
Приклад. Ряд рівномірно сходиться для х Î R. так як мажоранту () сходиться, так як є узагальненим гармонійним рядом Діріхле з показником ступеня великим одиниці (див. Приклад п. 4.2.3.5).
Перерахуємо найважливіші характеристики рівномірно збіжних рядів.
1. Якщо ряд з безперервних функцій рівномірно сходиться в області D. то його сума є безперервна функція в цій області.
2. Рівномірно сходиться ряд можна почленно інтегрувати, тобто .
3. Якщо ряд, складений з похідних сходиться ряду, сходиться рівномірно, то його можна почленно диференціювати, тобто .
Приклад. Чи можна почленно диференціювати функціональний ряд?
Рішення. Вихідний ряд рівномірно сходиться за ознакою Вейертрасса, так як мажорірующій ряд сходиться. Однак ряд, складений з похідних його членів, розходиться, тому що не виконується необхідна умова збіжності ряду, що полягає в прагненні до нуля загального члена ряду при прагненні n до нескінченності:
Висновок: вихідний ряд почленно диференціювати не можна.