Мабуть, рівномірний розподіл є найпростішим з усіх законів розподілів неперервних випадкових величин. Безперервна випадкова величина $ X $ є рівномірно розподіленим на відрізку $ \ left [a; b \ right] $, якщо її щільність розподілу ймовірностей має такий вигляд:
Тоді відповідна функція розподілу має вигляд:
Графіки функцій щільності $ f \ left (x \ right) $ і розподілу $ F \ left (x \ right) $ представлені на малюнку.
Для рівномірного закону розподілу числові характеристики можуть бути обчислені за відомими формулами. Математичне очікування :
Рівномірно розподілена випадкова величина $ X $ приймає всі свої значення лише в кінцевому проміжку $ \ left [a; b \ right] $, причому всі ці значення випадкової величини $ X $ різновірогідні. Прикладами випадкових величин, розподілених по рівномірному закону, можуть бути:
- Час очікування автобуса, за умови, що пасажир приходить на зупинку в випадковий момент часу і автобуси ходять з постійним інтервалом.
- Помилки при зважуванні.
- Помилка округлення числа до цілочисельного значення. Очевидно, що така випадкова величина розподілена рівномірно на відрізку $ \ left [-0,5; 0,5 \ right] $.
Приклад 1. Щільність розподілу ймовірностей випадкової величини $ X $ має вигляд $ f \ left (x \ right) = \ left \
0, \ x \ le 2 \\
\ Over>, \ 2
\ End \ right. $.
Тоді математичне очікування $ M (X) = (a + b) / 2 = (2 + 7) / 2 = 4,5 $, дисперсія $ D (X) = ^ 2/12 = ^ 2/12 = 25/12 \ approx 2,083. $
Приклад 2. Обчислити ймовірність того, що при семи випробуваннях менше трьох разів випадкова величина $ X $ потрапить в інтервал $ \ left [0; 1,5 \ right] $, якщо розподілено по рівномірному закону на відрізку $ \ left [0; 6 \ right] $.
Запишемо функцію розподілу рівномірно розподіленої випадкової величини $ X \ sim R \ left [0; 6 \ right] $.
Математичне сподівання рівномірно розподіленої випадкової величини $ X $ обчислюється за формулою:
Тоді ймовірність того, що $ X \ in \ left [0; 1,5 \ right] $ дорівнює різниці значень функції розподілу $ F \ left (x \ right) $ на кінцях цього інтервалу: $ P (0 \ le X \ le 1,5) = F (1,5) -F (0) = 1,5 / 6-0 = 0,25. $
Імовірність того, що при $ n = 7 $ незалежних випробуваннях $ X $ потрапить в інтервал $ \ left [0; 1,5 \ right] $ менше трьох разів, обчислюємо за формулою: $ P_7 \ left (k <3\right)=P_7\left(0\right)+P_7\left(1\right)+P_7\left(2\right)=C^0_7\cdot ^0\cdot ^7+C^1_7\cdot 0,25\cdot ^6+C^2_7\cdot ^2\cdot ^5=0,133+0,311+0,311=0,755$.