Різні доведення теореми Ейлера. Сучасна теорія багатогранників бере свій початок з робіт Леонарда Ейлера 1707-1783 - одного з найвидатніших математиків світу, роботи якого справили вирішальний вплив на розвиток багатьох розділів математики. Л. Ейлер був не тільки видатним математиком, а й великою творчою особистістю. Їм було написано близько 760 наукових статей для журналів, 40 книг, 15 робіт для різних конкурсів. Вражає працездатність вченого, що росла на протязі всього життя.
Вона була поміщена в роботі Доказ деяких чудових властивостей, яким підпорядковані тіла, обмежені плоскими гранями. Розглянемо різні докази цієї теореми. Надалі даний матеріал можна використовувати як для факультативних і гурткових занять, так і для самостійного вивчення учнями. Перш ніж розглядати доказ, звернемося до наступної таблиці Г- число граней багатогранника, В - вершин, Р - ребер Назва багатогранника Р О Р Тетраедр 4 4 6 Чотирикутна призма 6 8 12 семикутна піраміда 8 8 14 П'ятикутна Бипирамида 10 7 15 Правильний додекаедр 12 20 30 Тепер знайдемо суму Р О-Р для кожного з представлених в таблиці багатогранників. У всіх випадках вийшло Р О-Р 2. Справедливо це тільки для обраних багатогранників? Виявляється це співвідношення справедливо для довільного опуклого багатогранника.
Це властивість вперше було помічено і потім доведено Л. Ейлером. Теорема Ейлера. Для будь-якого опуклого багатогранника справедливо співвідношення Р О-Р 2. де Г - число граней, В - число вершин і Р - число ребер даного багатогранника.
Доведення. Існує безліч різних доказів теореми Ейлера. Пропонується розглянути три найбільш цікавих з них. 1 Найбільш поширений спосіб, що бере свій початок в роботі самого Ейлера і розвинений в роботі французького математика Огюста Коші 1789 - 1857 Дослідження про многогранниках 1811 р полягає в наступному. Уявімо поверхню даного багатогранника зробленої з еластичного матеріалу.
Видалимо виріжемо одну з його граней і залишилася поверхню растянем на площину. Тоді на площині виходить сітка рис 3. містить Г? Г-1 областей які як і раніше назвемо гранями. У вершин і Р ребер які можуть викривлятися. Для даної сітки потрібно довести співвідношення Г? По-Р 1, тоді для багатогранника буде справедливо співвідношення. Доведемо, що співвідношення не змінюється, якщо в сітці провести будь-яку діагональ. Дійсно, після проведення певної діагоналі в сітці буде Г? 1 граней, У вершин і Р 1 ребро, тобто Г? 1 В- Р 1 Г? По-Р. Користуючись цією властивістю, проведемо в сітці діагоналі, що розбивають її на трикутники на малюнку 3 діагоналі зображені пунктиром, і доведемо співвідношення методом математичної індукції по числу n трикутників в сітці.
Нехай n 1, тобто сітка складається з одного трикутника. Тоді Г? 1, В 3, Р 3 і виконується співвідношення. Нехай тепер співвідношення має місце для сітки, що складається з n трикутників.
Приєднаємо до неї ще один трикутник. Його можна приєднати наступними способами 1. як? ABC рис 3. Тоді сітка складається з Г? 1 граней, В1 вершин і Р 2 ребер, і, отже, Г? 1 В 1 - Р 2 Г? По-Р 2. Як? MNL. Тоді сітка складається з Г? 1 граней, У вершин і Р 1 ребер, і, отже, Г? 1 В- Р 1 Г? По-Р. Таким чином, в обох випадках, тобто при будь-якому приєднання n 1 -го трикутника, вираз не змінюється, і якщо воно дорівнювало 1 для сітки з n трикутників, то воно дорівнює 1 і для сітки з n 1 трикутника.
Отже, співвідношення має місце для будь-якої сітки з трикутників, значить, для будь-якої сітки взагалі. Отже, для даного багатогранника справедливо співвідношення. Таке доказ запропоновано в 18. 2 Спосіб доведення теореми Ейлера, пов'язаний з перебуванням суми плоских кутів опуклого багатогранника. Позначимо її? А. Нагадаємо, що плоским кутом багатогранника є внутрішні плоскі кути його граней. Наприклад, знайдемо? А для таких багатогранників а тетраедр має 4 грані - все трикутники.
Таким чином. а 4р б куб має 6 граней - все квадрати. Таким чином. а 6 р 12р в візьмемо тепер довільну п'ятикутну призму. У неї дві грані - п'ятикутник і п'ять граней - паралелограми. Сума кутів опуклого п'ятикутника дорівнює 3р. Нагадаємо, що сума внутрішніх кутів опуклого n-кутника дорівнює р n-2. Сума кутів паралелограма дорівнює 2р. Таким чином, S1 2 3р 5 2р 16р. Отже, для знаходження? А ми вираховували спочатку суму кутів, що належать кожній грані.
Скористаємося цим прийомом і в загальному випадку. Введемо наступні позначення S1, S2, S3 Sr - число сторін 1, 2, 3-й і т.д. останньої межі багатогранника. Тоді? А р S1-2 р S2-2 р Sr-2 р S1 S2 S3 Sr - 2М. Далі знайдемо загальне число сторін всіх граней багатогранника. Воно дорівнює S1 S2 S3 Sr. Так як кожне ребро багатогранника належить обидва боки, маємо S1 S2 S3 Sr 2 Р Нагадаємо, що через Р ми позначили число ребер даного багатогранника.
Таким чином отримуємо? А 2р Р-Г. 1 Порахуємо тепер? А іншим способом. Для цього будемо міняти форму багатогранника таким чином, щоб у нього не змінювалося число Г, В і Р. При цьому може змінитися кожен плоский кут окремо, але число? А залишиться колишнім. Виберемо таке перетворення багатогранника приймемо одну з його граней за основу, розташуємо його горизонтально і растянем для того, щоб на нього можна було спроектувати Інші межі багатогранника. Наприклад, на малюнку 4.а показано, до чого ми прийдемо в разі тетраедра, а на малюнку 4.б - в разі куба. На малюнку 5 показаний багатогранник довільного типу. Зауважимо, що спроектований багатогранник являє злилися дві накладені один на одного багатокутні пластини із загальним контуром, з яких верхня розбита на Г-1 багатокутник, а нижня на грані не ділиться.
Позначимо число сторін зовнішнього окаймляющего багатокутника через r. Тепер знайдемо? А спроектованого багатогранника. а складається з наступних трьох сум 1 Сума кутів нижньої межі, у якій r сторін, дорівнює р r-2. 2 Сума кутів верхньої пластини, вершинами яких є вершини нижньої межі, теж дорівнює р r-2. 3 Сума внутрішніх кутів верхньої пластини дорівнює 2р В-r, так як верхня пластина має В-r внутрішніх вершин і всі кути групуються біля них. Отже. а р r-2 р r-2 2р В-r 2РВ - 4р. 2 Таким чином, порівнюючи вирази 1 і 2. отримуємо Р О - Р 2, що й треба було довести.
Цей спосіб доведення теореми Ейлера розглянуто в книзі американського математика і педагога Джорджа Пойа. 10 3 Спосіб, запропонований математиком Л.Н. Бескин. 5 Тут, як і в випадку 1. вирізаємо одну грань багатогранника і залишилася поверхню розтягуємо на площину.
При цьому на площині виходить деяка плоска фігура, наприклад, зображена на малюнку 6. Уявімо собі, що ця плоска фігура зображує собою острів, який з усіх боків оточений морем і складається з окремих полів - граней, відокремлених один від одного і від води греблями - ребрами.
Почнемо поступово знімати греблі, щоб вода потрапила на поля. Причому греблю можна зняти тільки в тому випадку, якщо вона межує з водою лише з одного боку. Знімаючи чергову греблю, ми зрошуємо рівно одне поле. Покажемо тепер, що число всіх гребель тобто Р - число ребер взятого багатогранника дорівнює сумі чисел знятих і залишилися гребель. Отже, число знятих гребель одно Г-1. Дійсно, знімаючи греблі, які омиває вода тільки з одного боку, ми окропили все поля тобто грані, число яких дорівнює Г-1. так як одна грань була спочатку вирізана. На малюнку 6 номера 1, 2, 3 15 показують порядок зняття гребель. Число залишилися гребель одно По-1. Покажемо це. На малюнку 7 наша система зображена після зняття всіх можливих гребель.
Більше ні одну греблю зняти не можна, так як вони омиваються з двох сторін. Далі ніякі дві вершини системи, наприклад B і D рис. 7. не можуть з'єднуватися двома шляхами, так як в противному випадку вийшов би замкнутий контур рис 8. всередині якого не було б води, що суперечить тому, що всі поля окроплені водою. Звідси випливає, що в залишилася системі гребель повинен бути глухий кут, тобто вершина, в яку веде одне єдине ребро.
Виберемо будь-яку вершину, наприклад вершину А рис 7. і підемо по шляху, складеним з гребель, причому не будемо проходити ніяку вершину двічі. Зрештою, так як число вершин звичайно, ми прийдемо в глухий кут наприклад в вершину G на рис 7. Тоді відрізок-тупик, тобто вершину G і прилегле до неї ребро-греблю, відріжемо. У решти системі знову виберемо якусь вершину, підемо від неї і відріжемо вийшов глухий кут.
Поступаючи так, ми нарешті прийдемо до системи, в якій немає гребель, а є тільки одна вершина, яка залишиться після відрізання останнього глухого кута. Таким чином, число залишилися гребель одно По-1. Остаточно отримуємо Р Г - 1 В - 1. звідки Р О - Р 2. Теорема доведена.