Для доведення теореми Ейлера візьмемо довільну грань F1 багатогранника, а також суміжну з нею по ребру грань F2. Підкреслимо, що цю пару граней обмежує зв'язний (тобто складається з одного шматка) несамопересекающійся контур з ребер цих граней. Виберемо третю грань F3. яка прилягає до цієї парі з деякого зв'язного шматку ламаної, що складається з ребер (рис.21). Це, як неважко побачити, завжди можна зробити. Тоді межа трійки цих граней теж є зв'язний несамопересекающійся контур. Легко показати, що до вже відібраним гранях можна приєднати четверту грань, потім п'яту і т.д. так, щоб що виходить на черговому кроці сукупність граней F1. F2. Fi була обмежена зв'язковим несамопересекающімся контуром.
Підраховувати ейлерову характеристику багатогранника будемо поетапно. На першому етапі внесок межі F1 в ейлерову характеристику, тобто число вершин грані мінус число її ребер (таке ж) плюс число граней (в даному випадку дорівнює 1), дорівнює 1. Приєднуючи нову грань F2. ми додаємо деякий число нових вершин, віднімаємо число (менше числа вершин на одиницю) нових ребер і додаємо одиницю, відповідну нової межі. У підсумку, внесок в ейлерову характеристику на другому етапі нульовий. Так як приєднується на кожному етапі грань має з попередніми гранями спільний кордон у вигляді однієї зв'язковий ламаної, то на кожному кроці (за винятком останнього) число нових вершин на одиницю менше числа нових ребер. Тому на кожному кроці, починаючи з другого аж до передостаннього, внесок в ейлерову характеристику нульовий. Приєднання останньої межі не дає ні нових вершин, ні нових ребер, додаючи в ейлеровой характеристиці до вже наявної одиниці ще одну, відповідну останньої межі. Таким чином, на останньому етапі ми отримуємо ейлерову характеристику багатогранника, рівну 2.
Теорема Ейлера має величезне значення в геометрії. Ця теорема породила новий напрям в математиці - топологію. Ейлерова характеристика не залежить ні від довжин ребер, ні від площ граней, ні від будь-яких кутів багатогранника. Ейлерова характеристика дорівнює 2 незалежно від того, опуклий це багатогранник чи ні. Головне - щоб поверхня цього багатогранника не мала дірок і була "схожа" на сферу, а не на рамку (рис.22). Для багатогранника, "схожого" на рамку, ейлерова характеристика дорівнює 0.
1 Леонард Ейлер (1707, Базель, Швейцарія - 1783, Санкт-Петербург) - геніальний математик, більше 30 років пропрацював в Санкт-Петербурзі, член Петербурзької академії наук.