Кажуть, що рівняння є рівняння лінії. якщо виконуються дві умови:
1) якщо точка належить лінії. то її координати задовольняють рівняння;
2) якщо координати точки задовольняють рівняння. то.
Зауважимо, що умова 2) можна замінити на еквівалентну йому умову 2 *):
2 *) якщо. то її координати не задовольняють рівняння.
Лінія на площині називається алгебраїчної. якщо в якій-небудь аффинной системі координат рівняння цієї лінії можна представити в. де - многочлен від змінних і. тобто сума членів виду. .
Число називається ступенем члена. де.
Найвищий ступінь членів многочлена називається ступенем цього багаточлена. Наприклад, ступінь многочлена дорівнює 7.
Порядком алгебраїчної лінії. заданої рівнянням. називається ступінь многочлена.
Зі шкільного курсу відомо, що пряма лінія є лінією першого порядку, а окружність, гіпербола і парабола - лініями другого порядку.
Розглянемо на площині пряму лінію. Будь ненульовий вектор, паралельний цій прямій, називається її направляють вектором. Спрямовує вектор прямої будемо позначати через. Пряма має безліч напрямних векторів. Будь-які два з них колінеарні (рис. 54).
Пряма на площині однозначно задається точкою і направляють вектором або двома точками.
Виведемо кілька рівнянь прямої на площині в аффинной системі координат.
Таким чином, пряма задана точкою і направляють вектором. Застосовуємо канонічне рівняння прямої (10) (див. Пункт 1):
Рівняння (14) називається рівнянням прямої, заданої на площині двома точками і.
Зауважимо, що якщо або. то застосовуємо окремі випадки (11) або (12) канонічного рівняння прямої.
Нехай пряма перетинає вісь аффинной системи координат в точці. вісь - в точці. де (рис. 57).
Застосовуючи рівняння прямої, заданої двома точками А і В. отримаємо:
звідки отримуємо рівняння:
Рівняння (15) називається рівнянням прямої «в відрізках».
Геометричний сенс а й в в рівнянні прямої «в відрізках»: а - це абсциса точки перетину прямої з віссю. в - ордината точки перетину прямої з віссю аффинной системи координат.
5. Рівняння прямої, заданої точкою і кутовим коефіцієнтом.
Нехай - пряма, що не паралельна осі (рис. 58), - направляючий вектор прямої. Так як || . а. то || . Отже, || . Тому (див. Умову коллинеарности векторів в координатах).
Число називається кутовим коефіцієнтом прямої.
Кутовий коефіцієнт прямої не залежить від вибору направляючого вектора цієї прямої (спробуйте довести це самостійно).
Зауваження. Якщо пряма задана в прямокутній системі координат. то має простий геометричний зміст. . де - кут нахилу прямої до осі. тобто спрямований кут (рис. 59).
Нехай пряма задана точкою і кутовим коефіцієнтом. Запишемо канонічне рівняння прямої:
і перетворимо його:; ; враховуючи що . отримаємо:
Рівняння (16) називається рівнянням прямої, заданої точкою і кутовим коефіцієнтом.
6. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.
Нехай - кутовий коефіцієнт прямої. Застосовуючи рівняння (16), отримаємо:. тобто
Рівняння (17) називається рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом.
У рівнянні (17) в - це ордината точки перетину прямої з віссю.