МГПИ ім. М. Є. Евсевьева, каф. методики початкової освіти
Напольновская ЗОШ, Чуваська республіка
Різні способи вирішення завдань
в початковому курсі математики
Аналізуючи умови завдань, представлених в шкільному курсі математики, з'ясовуємо, що найчастіше потрібно знайти одну або кілька невідомих, зробивши ті чи інші дії над величинами. Подібні завдання зводяться до вирішення одного або системи кількох рівнянь, тобто можна говорити про алгебраическом способі рішення текстових завдань. Рівняння і системи рівнянь займають провідне місце в шкільному курсі алгебри і матеріал, пов'язаний з ними, складає значну частину всього шкільного курсу математики. Головним чином це пояснюється тим, що рівняння широко використовуються в різних розділах як математики, так і фізики, хімії, біології, в рішенні різних прикладних задач. Велика кількість завдань, пов'язаних з перебуванням різних параметрів просторових формах і всіляких численних відносин навколишнього світу зводиться до вирішення рівнянь.
Витоки алгебраїчних методів вирішення практичних завдань сягають глибокої давнини. Як відомо з історії математики, значна частина завдань математичного характеру, що вирішуються єгипетськими, шумерськими, вавілонськими писарів-обчислювачами (XX-VI ст. До н. Е.), Мала розрахунковий характер. Однак уже тоді виникали завдання, в яких шукане значення величини задавалося деякими непрямими умовами, які вимагають, з нашої сучасної точки зору, складання рівняння або системи рівнянь. Спочатку для вирішення таких завдань застосовувалися арифметичні методи. Надалі почали формуватися зачатки алгебраїчних уявлень.
В даний час в початковому курсі математики розвиваючої системи Л. В. Занкова є цілий ряд завдань, які можуть бути вирішені як арифметичним, так і алгебраїчним (система рівнянь) способами. На жаль вчителя початкових класів не завжди націлюють учнів на вирішення тієї чи іншої задачі двома способами.
Ми пропонуємо деякі тексти подібних завдань разом з двома способами рішення з метою зіставлення пропонованих способів і демонстрації можливості вирішення завдань як за допомогою арифметичних дій, так і за допомогою системи рівнянь.
Завдання 1: «Господиня розвела курей і кроликів. Всього у них 35 голів і 94 ноги. Скільки у господині курей і скільки кроликів? »
Арифметичний спосіб вирішення:
1) 35 × 2 = 70 (ніг) - якби всі були кури.
2) 94-70 = 24 (ноги) - у кроликів.
3) 4-2 = 2 (ноги) - на стільки ніг більше у кролика, ніж у курки.
Відповідь: 12 кроликів, 23 курки.
Алгебраїчний спосіб вирішення:
Нехай у господині х курей, а у - кроликів. Сумарно їх 35, тобто х + у = 35 - перше рівняння.
Так як у курей по 2 ноги, то 2х - всього ніг у курей. У кроликів по 4 ноги, то 4у - всього ніг у кролів. В сумі складають 94 ноги. Тоді отримаємо друге рівняння - 2х + 4у = 94.
У підсумку виходить система рівнянь:
Відповідь: 23 курки, 12 кроликів.
Завдання 2: «У саду було 4248 яблунь і груш. На кожні 7 яблунь доводилося 5 груш. Скільки в саду було яблунь і скільки груш? »
Арифметичний спосіб вирішення:
2) 4248: 12 = 354 (рази) - візьмемо по12 в 4248.
3) 7 × 354 = 2478 (яб.)
4) 5 × 354 = 1 770 (гр.)
Відповідь: 2478 яблунь, 1770 груш.
Алгебраїчний спосіб вирішення:
Нехай х - яблуні в саду, у - груші. Сумарно складають за умовою задачі 4248 дерев, тобто х + у = 4248 - перше рівняння.
За умовою на 7 яблунь доводиться 5 груш, то 7х - всього яблунь буде в саду, 5у - всього груш. Отримаємо друге рівняння: 7х = 5у.
В результаті отримаємо систему рівнянь:
Відповідь: 1770 яблунь, 2478 груш.
Завдання 3: «З двох міст вийшли одночасно назустріч один одному два потяги і зустрілися через 18 ч. Визнач швидкість кожного поїзда, якщо відстань між містами 1620 км і швидкість одного поїзда на 10 км / год більше швидкості іншого.»
Арифметичний спосіб вирішення:
1) 10 × 18 = 180 (км) - проїде перший поїзд більше другого до зустрічі.
2) 1620-180 = 1440 (км) - проїхали б обидва поїзди до зустрічі за 18 годин з одина-кової швидкістю.
3) 1440: 18 = 80 (км / год) - зближення поїздів за 1 годину з однаковою швидкістю.
4) 80: 2 = 40 (км / год) - швидкість першого поїзда.
5) 40 + 10 = 50 (км / год) - швидкість другого поїзда.
Відповідь: 40 км / год, 50 км / год.
Алгебраїчний спосіб вирішення:
Нехай х км / год - швидкість одного поїзда, у км / год - швидкість іншого поїзда. 18х км - проїхав перший поїзд до зустрічі, 18у км / год - проїхав другий поїзд до зустрічі. До зустрічі обидва поїзди разом пройшли 1620 км. Отримуємо перше рівняння: 18х + 18у = 1620.
Швидкість першого поїзда більше швидкості другого поїзда на 10 км, тобто різниця між швидкостями поїздів становить 10 км. х-у = 10 - друге рівняння.
В результаті отримуємо систему рівнянь:
50 км / год - швидкість першого поїзда.
40 км / год - швидкість другого поїзда.
Відповідь: 50 км / год, 40 км / год.
Завдання 4: «Для походу 46 школярів приготували шестимісні і чотиримісні човни. Скільки було тих і інших човнів, якщо всі хлопці розмістилися в 10 човнах, і вільних місць не залишилося? »
Арифметичний спосіб вирішення:
1) 4 # 8729; 10 = 40 (чол.) - помістилося б в човна, якби вони всі були чотиримісний-ними.
2) 46-40 = 6 (чол.) - не помістилися б в човна, якби вони всі були чотирьох-місцевими.
3) 6: 2 = 3 (л.) - шестимісні.
4) 10-3 = 7 (л.) - чотиримісних.
Відповідь: 3 човни, 7 човнів.
Алгебраїчний спосіб вирішення:
Нехай х човнів - шестимісні, у човнів - чотиримісних. Чотиримісні і шестимісні човна за умовою завдання сумарно складають 10, тобто х + у = 10 - перше рівняння.
6х - місця, зайняті в шестимісні човнах, 4у - місця зайняті в чотиримісних човнах. Всього місць зайнято в двох видах човнів - 46. Отримуємо друге рівняння: 6х + 4у = 46.
У разом отримаємо систему рівнянь:
3 човни - шестимісні.
7 човнів - чотиримісних.
Відповідь: 3 човни, 7 човнів.
Пропонуючи учням завдання, які вирішуються за допомогою системи рівнянь, необхідно постійно мати на увазі, що ос новних завдання цієї роботи - не формування навичок вирішення як самих у рівняння, так і системи, а усвідомлення спільного шляху перетворення пропонованих умов від складного до простішого.
Якого рівня складності рівняння будуть розбиратися в кожному конкретному класі, залежить не стільки від матеріалу підручника, кото рий дає тільки усереднену орієнтування, скільки від особеннос тей класу. Учитель сам визначає рівень складності, який необхідний його дітям.
Можливість вирішення завдань різними способами надає учневі пра во вибору, що робить самого учня більш вільним, спокійним, з'являється можливість його успіху, формулюється установка на знаходження ви ходу з будь-якої складної ситуації. Все вищесказане сприяє адаптації лич ності молодшого школяра в умовах сучасного освітнього середовища.