5.2.Механіческая робота і її зв'язок зі зміною кінетичної енергії.
5.4. Кінетична енергія поступального руху тіла.
5.5. Потенційна енергія механічної системи .Потенціальная енергія тіла в полі сили тяжіння.
5.6. Зв'язок потенційної енергії і консервативної сили. Потенційні криві.
5.7. Потенційна енергія пружно деформованого тіла.
5.9.Работа зовнішніх сил при обертанні твердого тіла.
5.10. Закон збереження механічної енергії.
У природі існують досить різноманітні форми руху матерії: механічне, хаотичне теплове, електромагнітне і т. Д. Досвід показує, що ці різні форми руху матерії здатні до взаємних перетворень. При цьому експериментальним шляхом встановлено, що всі взаємні перетворення якісно різних форм руху відбуваються в строго певних кількісних співвідношеннях. Причому рух безслідно не зникає, т. Е. В процесі взаємодії матеріальних об'єктів одна форма руху може перетворюватися (переходити) в іншу форму, але при цьому «зникнення» однієї форми руху завжди супроводжується «виникненням» еквівалентної кількості руху іншої форми, що становить шлях загального природного закону про незнищенність руху у Всесвіті.
Вивчення закономірностей перетворення одних форм руху матерії в інші з кількісної точки зору переконує нас в тому, що об'єктивно повинна існувати якась єдина міра різних форм руху матерії, однакова для всіх форм руху і типів взаємодії, і яка годилася б і для опису процесу перетворення однієї форми руху в іншу. Довгі пошуки такої універсальної (загальної) заходи, за допомогою якої можна було б вимірювати різні форми руху і їх взаємні перетворення привели до введення однієї з фундаментальних фізичних величин - енергії.
Термін «енергія» від гр. -. «» - ен - «всередині +« »-« робота », т. Е.« Прихована робота, «діяльність», «дія», ввів в 1807г. англійський учений Томас Юнг.
Енергією називають скалярну фізичну величину представляє собою єдину (універсальну) міру різних форм руху і все можливих типів взаємодії матеріальних об'єктів, і що є однозначною, неперервною, кінцевою, що диференціюється функцією параметрів стану системи фізичних Тел.
У зв'язку з тим, що зазвичай різні форми руху розглядаються окремо, представляється досить розумним і енергію розділити на частини, інакше кажучи, поставити кожної окремої формі руху матерії у відповідність свій певний вид енергії. Тим більше, що функція енергії має властивість адитивності (від лат. «Additives» - доданий).
Надалі при розгляді певної форми руху матерії будемо говорити про відповідний вид енергії - механічної, внутрішньої, електромагнітної і т.п.
Енергію, що залежить від параметрів механічного стану системи фізичних тіл, прийнято називати механічною енергією.
Необхідно зауважити, що механічна енергія визначається двома векторними параметрами:
де - радіус-вектором, що визначає положення тіла відносно інших тіл, з якими це тіло взаємодіє.
- швидкістю тіла, що визначає інтенсивність руху тіла в просторі.
У зв'язку з цим представляється можливим розділити механічну енергію на дві складові, кожна з яких залежить тільки від одного параметра:
Частина механічної енергії, що залежить від взаємного розташування взаємодіючих тіл або їх частин щодо один одного, називають потенційною енергією.
від лат. «Potentia» - «сила», «міць», «можливість».
Частина механічної енергії, що залежить від швидкості руху тіла, називають кінетичної енергією.
від гр. «Kineta» - «рух».
Суму кінетичної і потенційної енергій прийнято називати повною механічною енергією тіла або системи тіл.
Зміна будь-якого виду енергії, передача її від одних матеріальних об'єктів до інших відбувається в процесі їх взаємодії і обумовлено дією сил. Зміна енергії системи означає зміну її руху, зміна параметрів її стану.
З кількісного боку перетворення руху характеризується імпульсом сили
тобто твором сили на час дії сили.
З чим же пов'язане зміна енергії тіла? Який фізичною величиною можна охарактеризувати це зміна? Простіше за все розглядати цей зв'язок на прикладі кінетичної енергії, яка визначається швидкістю тіла .Нехай на тіло з масою, вільно рухалося з деякою швидкістю, і внаслідок з цією обставиною, що володіло деякою кінетичної енергією, подіяла протягом деякого часу змінна сила, яка в результаті змінила швидкість тіла від до, а отже, зрадила своїм дією і кінетичну енергію тіла до значення.
За основним законом динаміки для нескінченно малого проміжку часу
Висловимо час дії сили через параметр кінетичної енергії - швидкість тіла
де, -елементарное переміщення, на якому діючу силу можна вважати сталою.
Щоб оцінити зміну енергії тіла при зміні його швидкості від початкового стану, відповідного значенню до кінцевого, що характеризується швидкістю, необхідно проінтегрувати обидві частини отриманого співвідношення, т. Е. Іншими словами, підсумувати вплив сили на всій ділянці траєкторії, на якому діяла сила (або відбувалося зміна швидкості), тобто
Очевидно, що справа вийшло зміна кінетичної енергії тіла, виражене різницею між кінцевою і початковою енергіями, тобто
Зміна кінетичної енергії
Для тіла з масою m рухається з будь-якою швидкістю
де - функція швидкості тіла; логічно, що для.
Нова фізична величина, виражена в загальному випадку інтегралом і є шуканої мірою зміни механічної енергії тіла, отримала назву робота сили на ділянці траєкторії.
У тому випадку, коли сила, що діє на тіло, є величина постійна, її можна винести за знак інтеграла, тобто тоді
тобто робота, здійснена постійною силою дорівнює скалярному добутку сили на переміщення тіла.
Якщо сила, яка здійснює переміщення тіла, діє під деяким кутом до переміщення тіла, то тільки частина її здійснює роботу.
Таким чином, роботу сили можна уявити як скалярний добуток векторів сили і переміщення.
У загальному випадку змінної сили
де - елементарна робота, здійснена силою на елементі переміщення.
Робота - це фізична величина, яка характеризує властивість (здатність) матеріальних тел передавати один одному при їх взаємодії деяку кількість енергії.
Роботою називають скалярну фізичну величину, яка є мірою зміни енергії тіла в процесі взаємодії його з іншими тілами і рівну скалярному добутку векторів сили і переміщення, скоєного тілом під дією цієї сили.
В системі «СІ» одиниця вимірювання роботи - джоуль (Дж).
У цих же одиницях - джоулях, вимірюється і енергія.
Необхідно звернути увагу на ту обставину, що робота характеризує не саме рух або положення в просторі будь-якого тіла, тобто його енергію, а тільки зміна енергії. Якщо в процесі взаємодії тіл, енергія цих тіл не змінюється, то і робота дорівнює нулю, або як прийнято говорити, робота при цьому не проводиться (не здійснюється).
Механічна робота не відбувається (тобто механічна енергія тіла не змінюється):
А. Якщо в напрямку переміщення тіла не діє сила, тобто = 0
Приклад: рух тіла по інерції.
В. Якщо немає переміщення тіла в напрямку дії сили, тобто
1) тіло лежить на підставці
2) рука утримує вантаж
Тіло рівномірно без тертя рухається уздовж горизонтальної поверхні.
З .Якщо сила діє перпендикулярно переміщенню тіла, тобто кут, отже
Приклад: сила утримує тіло при його рівномірному русі по колу.
Робота - величина алгебраїчна, тобто вона може бути і позитивною і негативною:
- якщо, то робота сили позитивна, в цьому випадку паралельна складова сили збігається за напрямком з вектором швидкості тіла, що рухається.
Таку силу, що здійснює позитивну роботу називають рушійною силою.
-якщо, то робота сили негативна.
Таку силу, що здійснює негативну роботу прийнято називати силою опору руху.
Приклад: сила тертя.
Для того щоб охарактеризувати швидкість (швидкість) здійснення роботи, вводять нову скалярную фізичну величину, яка називається потужністю.
Якщо врахувати, що за час сила здійснює роботу, то потужність, що розвивається цією силою
або у векторному вигляді
Потужністю називають скалярну фізичну величину, яка була роботу здійснюються силою за одиницю часу і рівну скалярному добутку векторів сили і швидкості, з якою рухається тіло під дію цієї сили.
В системі «СІ» одиниця вимірювання потужності - ват (Вт).
Таким чином, поняття кінетичної енергії поступального руху тіла можна дати визначення.
Кінетичної енергією тіла називають скалярну фізичну величину, що характеризує рухається зі швидкістю фізичне тіло, і рівну роботі, яку повинна зробити сила, що діє на покоїться тіло, щоб повідомити йому цю швидкість.
5.5.Потенціальная енергія механічної системи.
Знайдемо вираз для потенційної енергії, яка як ми встановили, являє собою частину енергії механічної системи тіл, що залежить від її конфігурації, тобто від взаємного розташування частинок системи (їх положення в зовнішньому силовому полі) і характеру сил взаємодії між ними. Визначимо роботу, яку здійснює сила тяжіння, що діє на деякий тіло масою при його переміщенні по довільному шляху з точки, що знаходиться на висоті над поверхнею Землі, в деяку точку, що знаходиться нижче на висоті.
Елементарна робота, що здійснюються силою тяжіння при нескінченно малому переміщенні, дорівнює
Оскільки величина і напрямок сили тяжіння в будь-якій точці траєкторії руху тіла залишаються незмінними, то її можна винести з під знаку інтеграла
Величина являє собою проекцію вектора переміщення на вертикальну вісь, тобто висоту опускання тіла
- потенційна енергія тіла масою в полі сили тяжіння
- зміна потенційної енергії при падінні тіла.
Знак мінус говорить про те, що робота відбувається за рахунок зменшення потенційної енергії тіла тобто
^ Потенційною енергією тіла в полі сили тяжіння (піднятого над Землею) називають скалярну фізичну величину характеризує стан фізичного тіла відносно поверхні Землі, і рівну роботі, яку здійснюють проти сили тяжіння при підйомі тіла на висоту над поверхнею Землі
З отриманого співвідношення випливає, що робота здійснюються силою тяжкості при переміщенні тіла з одного положення в інше, не залежить від того по якій траєкторії це переміщення відбулося, а визначається тільки початковим і кінцевим положеннями тіла відносно поверхні Землі.
Сили, робота, яких не залежить від форми траєкторії переміщення тіла прийнято називати консервативними від лат. «Conservatio» - «збереження».
Сили, що не володіють такою властивістю, прийнято називати неконсервативний або диссипативними від лат. «Dissipatio» - «розсіювання».
Поля, дія яких на фізичні тіла характеризується консервативною силою прийнято називати потенційними.
5.6.Связь потенційної енергії і консервативної сили. Потенційні криві.
Знаючи вид функції потенційної енергії можна знайти консервативну силу діючу на тіло в кожній точці поля
Для випадку елементарної роботи:
тобто вона відбувається за рахунок зменшення потенційної енергії тіла на деяку величину
Якщо врахувати, що
де - лінійний диференційний оператор 1-го порядку, оператор Гамільтона.
Це означає диференціювання по всіх координатах. Похідна береться за направленням радіуса вектора.
Векторна фізична величина, яка визначається виразом
називається градієнтом потенційної енергії тіла grad.
Консервативна сила дорівнює градієнту потенційної енергії, взятому з протилежним знаком.
Потенційну енергію тіла відносно інших тіл можна зобразити за допомогою потенційної кривої.
0 - це сила відштовхування
Сила спрямована в бік спаду потенціальної кривої.
в) в точках 3 і 4:
- це точки рівноваги:
Точка 3 відповідає максимальному значенню потенційної енергії і є становищем нестійкої рівноваги (max); точка 4 відповідає мінімальному значенню потенційної енергії і є становищем стійкої рівноваги ().
Приклади потенційних кривих.
3) Міжмолекулярна взаємодія
Потенційна яма для - частинки в ядрі.
5.7. Потенційна енергія пружно деформованого тіла.
Знайдемо потенційну енергію пружно деформованого тіла.
При деформації (розтягу) пружини деякої зовнішньою силою, в пружині виникає сила пружності
де до- коефіцієнт пружності (жорсткості), абсолютна деформація (розтягнення) пружини, яка пропорційна абсолютної деформації тіла і спрямована в бік, протилежний деформації.
За третім законом Ньютона деформуюча зовнішня сила дорівнює по модулю і протилежна за напрямком цієї виникає силі пружності, тобто
Елементарна робота, що здійснюються зовнішньою силою проти сили пружності при нескінченно малій деформації дорівнює
а повна робота
Ця робота зовнішньої сили пішла на збільшення потенційної енергії пружини
Потенційною енергією пружно деформованого тіла називають скалярну фізичну величину рівну роботі, яку необхідно зробити проти сили пружності, щоб повідомити тілу цю деформацію.
5.8. Кінетична енергія тіла, що обертається.
Знайдемо кінетичну енергію абсолютно твердого тіла, що обертається навколо нерухомої осі. Подумки розіб'ємо це тіло на малі обсяги з елементарними масами, що рухаються з лінійними швидкостями
де - відстань маси від осі обертання.
Тоді кінетична енергія елементарної маси
Кінетична енергія всього тіла являє собою суму кінетичних енергій складових його частин (елементарних обсягів).
де - момент інерції тіла відносно даної осі обертання.
У разі плоского руху, тобто такого руху, при якому всі точки тіла переміщуються в паралельних площинах.
Приклад: хитання циліндра по площині
Плоске рух твердого тіла можна уявити як суму двох рухів:
- поступального руху з однаковою для всіх точок тіла швидкістю, званої швидкістю центру мас тіла.
- обертального руху з однаковою для всіх точок тіла кутовий швидкістю навколо осі, що проходить через центр мас.
Таким чином, кінетична енергія тіла при плоскому русі складається з кінетичної енергії поступального і обертального рухів.
5.9. Робота зовнішніх сил при обертанні твердого тіла.
Знайдемо роботу зовнішніх сил при обертанні тіла.
При обертанні твердого тіла його потенційна енергія не змінюється, тому елементарна робота зовнішніх сил дорівнює приросту кінетичної енергії тіла, тобто
Якщо врахувати, що