Експонента (число e) - ірраціональне число, приблизно рівне 2,71828. Число e грає велику роль в диференціальному і інтегральному обчисленнях і використовується практично у всіх наукових сферах. Настільки сухе математичне визначення абсолютно не розкриває суті про фізичному сенсі експоненти. Розглянемо докладніше.
Сенс числа e
Число Пі є не просто ірраціональне число, що дорівнює 3,1415, а однакове для всіх випадків співвідношення довжини кола до діаметра. Точно так само і число e має свій власний сенс.
Експонента - це базове співвідношення зростання для всіх зростаючих процесів. Будь-яке число можна розглядати як збільшену одиницю, будь квадрат - як масштабувати одиничний квадрат, будь рівносторонній трикутник - як збільшений або зменшений правильний трикутник, ну а будь-який коефіцієнт зростання можна представити у вигляді масштабованого коефіцієнта е.
Саме операції з числом e дадуть вам можливість визначити темпи зростання в таких ситуаціях, як приріст населення, нарахування відсотків за депозитом або обсяг напіврозпаду радіоактивного речовини.
дискретний зростання
В якості базового прикладу системи безперервного подвоєння можна привести розмноження бактерій, які подвоюються кожні добу. Якщо подвоєння відбувається один раз, то математично ми отримуємо 2 в першого ступеня, тобто просто 2. Якщо подвоєнь x раз, то в результаті ми отримуємо 2 певною мірою x бактерій, грошей або будь-якого іншого добра.
Однак система може змінюватися не в 2 рази, а наприклад на 20% або 120%. У цьому випадку ми можемо уявити подвоєння не як двійку, а як 1 + 1 або 1 + 100%. У такого запису ми можемо підставити будь-який коефіцієнт приросту і отримати формулу росту як:
Зростання = (1 + приріст) ^ x,
де x - це кількість циклів приросту.
Завдяки цій формулі ми можемо дізнатися, скільки бактерій ми отримаємо з однієї клітини через 30 днів. Однак бактерії діляться дискретно, тобто поки нова клітина не сформується протягом доби, вона не зможе виробляти нові організми. Застосовуючи цю формулу до грошей, ми отримаємо зовсім інший результат.
безперервне зростання
При нарахуванні відсотків на гроші відбувається не дискретний, а безперервний ріст. Як тільки за депозитом нараховується прибуток в розмірі пари пенні, ці гроші починають приносити вже свій прибуток. Немає потреби чекати, поки «народиться» цілий долар, який почне ділитися за подобою бактерій. Досить сформуватися центу, який почне генерувати свою мікропрібиль.
Уявімо, що ми вклали $ 1 в бізнес, який обіцяє нам 100% прибутку через рік. Це означає, що ми отримаємо приріст:
Дохід = (1 + 1) ^ 1 = 2
Всього $ 2 - негусто. Однак якщо ми розіб'ємо рік на два півріччя, то ми отримаємо по 50 центів за кожні півроку. Отримані центи вже можуть самостійно генерувати прибуток, і тоді формула зміниться.
Дохід = (1 + 0,5) ^ 2 = 2,25
Так як у нас тепер два періоди подвоєння, ми звели приріст в квадрат і отримали додаткові 25 центів доходу. Якщо розбити нашу прибуток на 5 частин по 20 центів, то вийде ще більш привабливим:
Дохід = (1 + 0,2) ^ 5 = 2,4883
Може бути, ми зможемо розділити прибуток на нескінченно велику кількість дрібних частин і отримаємо нескінченну прибуток? На жаль немає. Навіть якщо ми розділимо наш долар на 100 000 частин, дохід складе:
Дохід = (1 + 0,00001) ^ 100 000 = 2,71826
При нескінченному дробленні долара прибуток буде збільшуватися на стотисячні знаки після коми. Наші 2,71826 долара прибутку будуть прагнути до значення 2,718281828, що є ніщо інше як число Е.
І що все це значить?
Експонента - це найбільший можливий результат стовідсоткового безперервного зростання за конкретний період часу. Так, спочатку нам обіцяють 100% прибутку, тобто всього $ 2, але кожен цент приносить свої дивіденди і за підсумками у нас виявляється рівно $ 2,71828 прибутку. Число е - це максимум, який ми можемо отримати при розбитті прибутку на суми нескінченно малих величин.
Це означає, що якщо при потенційній стовідсоткової прибутку ми вкладемо в бізнес $ 1, то отримаємо $ 2,718 чистого прибутку. Якщо $ 2, то ми отримаємо 2е чистого прибутку, а якщо $ 100, то наш профіт складе 100е. Таким чином, e - це гранична константа, яка обмежує процеси росту точно так же, як швидкість світла обмежує пересування інформації в просторі. Число е - це максимально можливий результат, важкодосяжний на практиці, тому в реальності багато процесів описуються з використанням частин експоненти.
Використання експоненти на практиці
На перший погляд зростання зображується у вигляді додатка 1%, проте, математично така надбавка виражається як множення на 1,01. Таким чином, при операціях з числом e ми використовуємо ступеня або коріння. Або натуральні логарифми, якщо нам необхідна зворотна операція. Який би коефіцієнт приросту ми не взяли, він буде означати ступінь для числа е. Наприклад, якщо ми знаємо, що протягом 3 років отримаємо прибуток в розмірі 200%, то ми просто множимо приріст (e 2) на 3 періоди і отримуємо:
Для кращого розуміння розглянемо приклади.
Депозит в банку
Припустимо, ми поклали на депозит в банку $ 100 під річну ставку в розмірі 8%. Обраний банк пропонує нам повну капіталізацію відсотків, яку ж прибуток ми отримаємо через 5 років? Так як банк забезпечує нам безперервне зростання грошей, через 5 років на нашому рахунку вже буде:
Прибуток = 100 × е ^ (0,08 × 5) = 149,1
Приголомшливо, правда? На жаль, реальні банки рідко використовують складні відсотки, а якщо і розраховують капіталізацію, то за своїми формулами, які дещо відрізняються від класичної експоненти.
Період напіврозпаду
Уявіть, що у вас є 5 кг радіоактивного урану, який розпадається зі швидкістю 100% в рік. Скільки урану у вас залишиться через 2 роки? За ідеєю, весь уран повинен розпастися за перший же рік, однак це не так. Через 6 місяців у вас залишиться тільки 2,5 кг урану, який в свою чергу почне розпадатися зі швидкістю всього 2,5 кг в рік. Ще через пару місяців у вашому сховищі залишиться 1 кг урану, а й він буде розпадатися з ще меншою швидкістю на рівні 1 кг в рік. З плином часу ви втрачаєте радіоактивне паливо, при цьому знижується і швидкість розпаду. Таким чином, через 2 роки у вас залишиться:
Радіоактивний залишок = 5 × e ^ -2 = 0,676
висновок
Експонента знаходить широке застосування в ситуаціях, де що-небудь безперервно або дискретно зростає. Ви можете використовувати калькулятор зведення числа e в ступінь для підрахунку результатів зростання будь-яких безперервних процесів.