Якщо k - підполі поля K, то говорять також, що K - розширення поля k. Відзначимо, що при розширенні зберігається характеристика поля. Справді, поле k характеристики 0 містить підполі изоморфное Q - полю раціональних чисел, а поле k характеристики p> 0 - підполі изоморфное полю GF (p) - відрахувань по модулю p. За визначенням розширення більше поле K містить ті ж підполя і, отже, має ту ж характеристику.
Нагадаємо, що векторних простором над полем k називається така безліч X (векторів), для якого визначені операції додавання векторів і множення вектора на елемент поля (скаляр) з наступними властивостями:
1. Щодо складання вектори утворюють абелеву групу.
Очевидно, що поле K можна розглядати як векторний простір над k: додавання векторів що інтерпретує як додавання елементів поля K, а множення на скаляр як множення в тому ж полі (адже кожен скаляр з k в той же час є елементом K). Властивості 1 - 5 випливають з визначення поля. Таким чином, всі відомі нам результати, які стосуються до векторних просторів, застосовні до випадку розширення полів. Зокрема, можна говорити про розмірності K над k. Це число називається ступенем розширення і позначається [K: k]. Якщо ступінь розширення конечна, то і саме розширення називається кінцевим.
1. Поле З комплексних чисел є розширенням поля R дійсних чисел. Так як кожне комплексне число однозначно записується у вигляді a + bi, то числа 1 і i утворюють базис З над R і означає [C: R] = 2.
2. Розглянемо поле R як розширення поля раціональних чисел Q. Покажемо, що ступінь розширення нескінченна. Для цього достатньо для будь-якого n вказати лінійно незалежну над Q систему дійсних чисел. Покладемо,,. . Нехай для деяких раціональних виконано рівність: = 0. Тоді многочлен з раціональними коефіцієнтами q = має корінь x = .Однак той же корінь має не приводиться многочлен, який, отже, ділить многочлен q. Це можливо тільки в тому випадку, коли многочлен q нульовий, ніж та доведено наше твердження.
Теорема про ступінь складеного розширення.
Нехай поле F є розширенням поля k, а K - розширення F. Тоді ступінь розширення [K: k] перебувають розслідування щодо формулі: [K: k] = [K: F] [F: k].
Нехай - базис K над F, а - базис F над k. Для будь-якого U K маємо: U =, де. Але де . Значить, будь-який елемент поля K записується у вигляді лінійної комбінації над k елементів в кількості nm штук. Залишається перевірити їх лінійну незалежність. якщо
= 0, то оскільки лінійно незалежні над F, для будь-якого
i = 1. n маємо = 0. Але лінійно незалежні над k і тому все.
Розширення за допомогою приєднання елементів.
Нехай дано поле k і елементи, що належать деякому більшого полю K. Найменша (по включенню) підполі поля K, що містить поле k і всі елементи позначається k () і називається розширенням k за допомогою приєднання елементів. Якщо n = 1, то розширення називається простим. а відповідний елемент U називається породжує елементом простого розширення.
1. Якщо все, то k () = k.
2. Якщо k = R. U = a + bi C. причому b 0, то просте розширення R (U) збігається з С. Справді, R (U) містить U і всі речові числа. Але тоді
i = 1 / b (U-a) R (U), а значить і будь-яке комплексне число p + qi R (U).
3. Поле Q () містить безліч X всіх дійсних чисел, які можна записати у вигляді a + b, де a, b Q.
Перевіримо, що X - поле і тим самим встановимо, що Q () = X. Нагадаємо, що підмножина T поля k буде полем тоді і тільки тоді, коли
a) T містить 0 і 1.
b) Разом з будь-якими двома елементами t і s T містить їх різниця t-s.
c) Разом з будь-якими двома елементами t і s 0 T містить їхня приватна t / s.
Умови a) і b) для X очевидно виконані. Щоб перевірити c) треба "знищити ірраціональність" в знаменнику дробу (a + b) / (c + d). З елементарної алгебри відомо, що для цього достатньо чисельник і знаменник помножити на c-d. Отже, [Q (): Q] = 2 і базис складають елементи 1 і.