Власними функціями операторів і є сферичні гармоніки:
, .
Підставами в ці рівняння явні вирази для операторів в сферичних координатах:
Вирішимо цю систему диференціальних рівнянь методом поділу змінних:
З другого рівняння отримуємо
При зміні кута на ми повертаємося у вихідну точку простору. Оскільки хвильова функція повинна бути однозначною, то
.
в перше рівняння системи і скорочуючи, отримуємо рівняння на:
.
Виконаємо заміну змінної:
, .
,
і рівняння для набуває вигляду
.
З теорії рівнянь математичної фізики випливає, що расходимостей у ніякому, тільки якщо
,
де. Тобто при будь-яких отримуємо рівняння
де. В такому випадку - це функція без особливостей при. Оскільки рівняння містить, то функції і відрізняються тільки постійними множником.
Розглянемо два випадки
.
Тоді рішенням є - поліном Лежандра ступеня. Його явний вигляд задається формулою Родріго:
б). Тоді - приєднаний поліном Лежандра. Для нього маємо:
.
Поліноми Лежандра мають властивість ортогональності:
.
Отже сферичні гармоніки мають вигляд (для невід'ємних):
.
Константи знаходяться з умови нормування
.
Можна показати що
.
Сферичні гармоніки з негативними за визначенням приймають рівними
Сферичні гармоніки утворюють повний ортонормованій базис на сфері.