У цій статті ми розглянемо дві чудові криві - епіциклоїда і гіпоциклоїда. Вони зображені відповідно на рис. 1 і 2.
Зауважимо, що це не просто красиві картинки. Обидва зображення мають "геометричний" сенс, - це лінія, яку утворює точка, закріплена в площині деякого кола радіуса r (виробляє коло), коли коло котиться без ковзання по нерухомій окружності радіуса R (напрямна). На рис. 3 показана частина АМ епіциклоїда, по якій переміщається точка М виробляє кола.
Коли окружності стосуються зовнішнім чином, лінія називається "епіциклоїда" (від грецьких слів - на. Над. При і - коло. Окружність), коли дотик внутрішнє - "гіпоциклоїда" (від gipo - на. Над, при і).
Обидві криві мають також варіанти в залежності від того, де знаходиться точка М [2]. Позначимо відстань від цієї точки до центру виробляє кола - d. Якщо d = r (точка М розташована на колі виробляє кола), то такі епіциклоїда і гіпоциклоїда називаються "звичайними" (на рис. 3 якраз і показаний такий варіант). Коли точка М взята всередині виробляє кола (d Після такого теоретичного введення приступимо до розробки програм, за допомогою яких можна отримати зображення епіциклоїда і гіпоціклоіди. Як і у випадку з равликом Паскаля [1], це зручно робити за допомогою параметричних рівнянь кривої. Для епіциклоїда вони такі: Нагадаємо, що параметрическими такі рівняння називаються тому, що визначають значення координат х і у кожної точки кривої в залежності від деякого параметра, в нашому випадку від параметра j - кута нахилу відрізка, що з'єднує цю точку з початком координат. Крім того, в рівняннях є величини R. r і d. сенс яких розкрито вище. Використовуючи параметричні рівняння лінії, можна отримати її зображення в програмі - для цього треба розрахувати значення координат х і у для всіх кутів, скажімо від 1 до 360 градусів через 1 градус, і поставити крапку у відповідному місці екрана. Програма на шкільному алгоритмічній мові, вирішальна таке завдання для епіциклоїда, має вигляд: начцел x, y, кут, x0, y0, вещ R, r, d, угол2 | І зображуємо цю точку 1. У шкільному алгоритмічній мові враховується регістр символів в іменах змінних величин (r і R - різні величини). 2. х0 і у0 - координати центру екрану (з урахуванням цих координат розраховуються значення х і у); значення х0 і у0 залежать від величин максХ і Максим, рівних відповідно максимального значення координат х і у в обраному режимі роботи екрана. 3. угол2 - величина кута в радіанах. 4. Функція цілий повертає цілу частину її речового аргументу. Для побудови епіциклоїда і гіпоциклоїда можна використовувати також електронну таблицю Microsoft Excel. Верхня частина листа, на якому можна зробити це стосовно епіциклоїда, показана на рис. 4. Завдання для самостійної роботи 1. На досліджуваному вами мовою програмування розробіть програму, за допомогою якої можна отримати зображення гіпоціклоіди. Її параметричні рівняння: 2. Оформіть листи електронної таблиці Microsoft Excel для отримання епіциклоїда і гіпоциклоїда. Необхідні формули і тип графіка визначте самостійно. 3. Встановіть, що визначають значення величин R, r і d на зображенні наших ліній. 4. Визначте особливості звичайних, укорочених і подовжених епіциклоїда і гіпоциклоїда (див. Вище). На закінчення наведемо коротку історичну довідку про розглянутих чудових кривих [2]. Початок систематичного вивчення епіциклоїда і гіпоциклоїда було покладено в 1525 р знаменитим німецьким художником Альбрехтом Дюрером (1471-1528), широко застосовували геометричні методи в образотворчому мистецтві. Однак математикам дослідження Дюрера залишилися невідомими.