Вправа 11.1. Дописати цю конструкцію і показати природність ізоморфізму.
Визначення 11.8. Для функтора F. C. D і об'єктів X; Y 2 Ob (C) розглянемо відображення
Hom C (X; Y). Hom D (F (X); F (Y));
Якщо це відображення ін'єкційних для всіх X і Y. то F називається строгим (faithful).
Якщо це відображення сюр'ектівно для всіх X і Y. то F називається повним (full).
1. F строгий і повний.
2. Для будь-якого Y 2 Ob (D) існує X 2 Ob (C), такий що Y F (X).
Доказ Букур-Деляну або Гельфанд-Манін.
аффінниє алгебраїчні різноманіття,
11.4 Двоїстість Понтрягина
Визначення 11.9 (Отто Шрайер, 1926). G називається топологічної групою, якщо G забезпечена топологією і безперервним множенням (x; y) 7! X y і взяттям зворотного елемента x 7! X 1.
Функтор b: LCAb. LCAb. дає подвійність Понтрягина, влаштований так:
G G b: = Hom TopGrp (G; T);
де T: = fz 2 C j jzj = 1g.
Групова структура на G b це Поточечное твір характерів:
G b забезпечується топологією рівномірної збіжності на компактних подмножествах. Зараз ми розберемо, що це таке.
Нехай U околиця 1 в топологічної групи G. Розглянемо
Базу системи оточень в G задає безліч
fU d j U околиця 1 в Gg:
Відповідно, на G виникає рівномірна структура.
Визначення 11.10. X називається рівномірним простором, якщо задано підмножина B X X оточень рівномірної структури, таких що
1. B є ультрафільтри:
U; V 2 B) U \ V 2 B;
U 2 B; U V) V 2 B:
2. Для будь-якого U 2 B виконується x U, де
x: = f (x; x) j x 2 Xg:
3. Для будь-якого U 2 B знайдеться V 2 B, таке що V 0 U, де
V 0: = f (y; x) j (x; y) 2 V g:
4. Для будь-якого U 2 B знайдеться V 2 B, таке що V V U, де
V V: = f (x; y) j 9z 2 X (x; z); (Z; y) 2 V g:
Визначення 11.11. Відображення (X; B X). (Y; B Y) називається рівномірно безперервним, якщо для будь-якого U 2 B U виконується (f f) 1 (U) 2 B X.
Так як ми просто ввели додаткову структуру, що нагадує звичайну топологію, то існує забуває функтор Unif. Top.
На будь-який топологічної групи існує дві рівномірні структури, права і ліва, але для абелевих (і локально компактних) груп вони збігаються.
Визначення 11.12. Нехай X будь-яка множина, і Y рівномірний простір. Нехай U 2 B Y оточення. Визначимо U X Y X Y X
U X: = f (f; g) j f; g. X. Y; 8x 2 X (f (x); g (x)) 2 Ug:
U X візьмемо за базу системи оточень в Y X. Відповідна топологія називається топологією рівномірної збіжності на Y X.
Визначення 11.13. Топологією збіжності на компактних подмножествах називається найслабша топологія, яка при обмеженні всяке компактне X G індукує певну вище топологію на Y X.
Затвердження 11.6 (Теорема Понтрягіна). Є природний ізоморфізм топологічних груп
Відповідний функтор на стрілках влаштований так:
AffVar k 'AffAlg k.
Антіеквівалентность випливає з того, що
I (V (I)) = I для радикального ідеалу I (такого що I = Rad (I)).
V (I (X)) = X для алгебраїчного різноманіття X.
(Ми обговорили тільки те, як по алгебраическому різноманіттю X виходить алгебра k [X], але можна і будувати алгебри різноманіття з алгебри це нескладно придумати з розповіді вище або прочитати в підручниках.)
Рекомендовані книги для тих, хто зацікавився алгебраїчної геометрією:
Девід Мамфорд, Червона книга про многовидах і схемах.
David Eisenbud, Joe Harris, The Geometry of Schemes.
Робін Хартсхорн, Алгебраїчна геометрія.