Нещодавно до мене звернувся один школяр з питанням про порівняння двох чисел. Потрібно було з'ясувати, що більше: е в ступені пі або пі в ступеня е. Красиве поєднання. Чи не правда? Репетитор з математики, який з ним займався весь рік, не зміг впоратися з такими ірраціональними, а мені завжди було цікаво повозитися з тими номерами, які у будь-кого не вийшли. Повинен же репетитор вміти вирішувати нестандартні завдання.
Отже, потрібно порівняти і Як я розмірковував?
Зрозуміло, що обчислювати «в лоб» нереально, а калькулятор в таких випадках застосовувати забороняється. Думаю так: швидше за все необхідно розтягнути показники і підстави ступенів, по ходу змінюючи порівняння на щось рівносильне. Інакше в безлічі елементарних функцій ми не знайдемо ту саму функцію, яка допоможе порівняти числа на підставі властивостей своєї монотонності. Розірвати термоядерну ірраціональну парочку можна тільки при обчисленні логарифма. Тому я відразу ж прологаріфміровал ступеня спрямував думку в напрямку і. Підстава логарифма було обрано не випадково. Позначилося присутність експоненти.
Завдання звелася до порівняння чисел і. Далі я помітив, що заміна в їх записах на дає рівні числа. Як би це використати? Тримаю в голові головну ідею: якщо у завдання є елементарне рішення, то рано чи пізно доведеться ввести якусь монотонну функцію. Це явно не так як число не є значенням в зручній для порівняння з точки. Проте виявлене рівність результатів, напевно, необхідно якось використовувати. Як?
Пригадую, що доказ будь-якого нерівності в математиці рівносильно доказу того, що різниця розглянутих чисел має певний знак. А це все одно, що порівнювати різницю з нулем. Саме він виходить при заміні в ній числа на число. Як тепер повинен діяти репетитор з математики. Звичайно ж розглядати функцію і доводити її монотонність при. Якщо функція виявиться зростаючої, то так як>, то> і тому отримуємо, що>.
Залишилося знайти похідну і перевірити, що зростає при. Маємо. Очевидно, що якщо x> e, то>. Отже зростає на проміжку. Тому> і отже е в ступені пі більше ніж пі в ступеня е
Видаляючи всі міркування рішення задачі запишемо його компактно:
Весь процес зайняв близько 10-15 хвилин і більшу його частину я думав. Не можу сказати, що кожен репетитор з математики повинен вміти консультувати учня за завданнями олімпіадного характеру, але знати про деякі прийоми роздумів йому було б корисно.
З повагою, Колпаков Олександр Миколайович.
репетитор з математики в Москві,
Професійний репетитор в Строгіно, м.Щукінская.
Очевидно, 2.7 ^ 3.14> 3.14 ^ 2.7
) Так, це настільки ж очевидно, як і те, що рівняння x ^ n + y ^ n = z ^ n при n> 2 не має нетривіальних рішень в цілих числах (теорема Ферма) :))))
Моє рішення:
1) pi> e,
2) ln (pi)> ln (e),
3) e * ln (pi)> e * ln (e),
4) віднімемо з 1) - 3):
pi - e * ln (pi)> e - e * ln (e) = 0,
5) pi - e * ln (pi)> 0,
6) pi> e * ln (pi),
7) pi> ln (pi ^ e)
8) ln (e ^ pi)> ln (pi ^ e)
9) e ^ pi> pi ^ e
Тут є один нюанс: треба, щоб доводить мав би уявлення про дві речі: зв'язку монотонності функції та похідної. В іншому випадку треба примудритися, щоб довести, що різниця між пі і е, помножене на натуральний логарифм пі, більше, ніж різниця між е і е, помножене на натуральний логарифм е, тобто більш нуля. Само по собі, без залучення уявлення про монотонності зростання зазначеної функції це - ніяк не очевидно.
Велике спасибі за рішення. Чи не підкажете, з якого підручника чи збірника олімпіадних завдань з математики взято дане завдання? Заздалегідь дякую.
Не можу сказати в яких саме книжках зустрічається дана задача. Та й навіщо її шукати, якщо вона вже знайдена :))) Питання про порівняння даних чисел було поставлено знайомому репетитора з математики одним з його учнів. Завдання переслали мені і після недовгих роздумів я оформив її рішення на сайті. Більш нічого не знаю.
Стара завдання. Основне в ній - порівняння зростання логарифма з лінійною функцією
Шановний Миколо Сисойлов, дія, яку ви робите в п 4 свого докази, робити не можна.
Коротка ілюстрація:
10> 7
5> 1
Значить, за вашою логікою 10 - 5> 7 - 1, тобто 5> 6