Що таке АЛГЕБРА? (Конспект лекції)
Що таке алгебра?
Конспект лекції головняка В.В.
Взагалі то. щоб викласти цю тему послідовно, потрібно попередньо обговорити теми: «Що таке арифметика?», «Що таке геометрія?».
А після даної теми можна переходити до наступних: «Що таке функція?», «Що таке тригонометрія?». Але за браком часу лекцій буде тільки дві.
Це - перша лекція.
1. В обох лекціях я буду проводити цілком певний підхід до предмету мого розгляду. Якщо всіх студентів розділити по їх відношенню до математики на три групи (1 ті, хто не знають, бояться її і мають по ній «незадовільно», 2 ті, хто її знають і вміють вирішувати і складати іспити, 3 - ті, хто не просто знають, а й збираються якось пов'язати з математикою своє подальше життя), то цей підхід годиться для 1 і 2 груп.
Метафора: хто повинен знати, як влаштовані розетки і крани в квартирі? - тільки той, хто хоче стати електриком-сантехніком- будівельником, або той, хто змушений сам лагодити розвалюється обладнання в тому місці, де він живе.
Цей підхід заснований на тому, що я буду обговорювати, як влаштована математика, в даному випадку - алгебра: з яких елементів вона складається, на що вона схожа, як з нею (або в ній) працювати. Звідси зрозуміло і про те, кому такий підхід потрібен - тому, хто передбачає в майбутньому будувати нові «алгебри», або того, хто хоче «з нуля» і досить швидко освоїти шкільну алгебру.
2. Перша теза: алгебра - це дуже просто!
Це не означає, що алгебра - це легко, доведеться трохи напружитися. Але вона проста, в тому сенсі, що складається з простих елементів. Точно так же, як кілочка дров складається з дуже простих рухів. Але вимагає напруги сил і людина, яка коле дрова, через деякий час втомлюється.
Друга теза: алгебра - це мова! (Слідом за Давидом Гільбертом, який стверджував, що математика - це мова).
Мова потрібен для комунікації, щоб передати сенс. виник у однієї людини до іншої людини. Для цього служать пропозиції цієї мови, складені за певними правилами.
Чому люди вчать різні мови, що це їм дає крім можливості спілкуватися в інших країнах? Відповідь - кожна мова має слова. яких не існує в інших мовах, тому дозволяє описувати (і бачити) такі явища, які ніколи людина б не побачив, якби не знав цієї мови. Знання ще однієї мови дозволяє отримати ще одне, відмінне від інших, бачення світу. (У ескімосів в мові існує 20 різних слів для позначення снігу, на відміну від російського, де всього одне. Хоча, наприклад, в російській є таке слово «наст» для позначення кірки, що утворюється на снігу після відлиги, за якою відразу настали заморозки. є. ймовірно, і інші слова, що описують особливі стану снігу).
3. Яку частину світу дозволяє бачити математичну мову? Кількість, Порядок, Форма - все, що пов'язано з цими гранями світу.
3. Щоб зрозуміти, як будувати і розуміти вираження математичної мови, розглянемо будь-яке вираження, наприклад:
2 + 2
У мові є вираження-приписи. розпорядчі здійснити деякі дії, і є вираження-опису, що описують деякий предмет.
Розглянемо наведене вище вираз спочатку як припис, а потім - як опис.
Як припис його можна прочитати так: «Візьми число 2, візьми ще одне число 2, склади ці числа, і після знака« = »напиши, що вийшло».
Людина, зрозумівши і виконав цей припис повинен зробити в розумі і на листочку перераховані вище дії «взяти число 2», «скласти», отримати результат цього додавання (суму), записати цей результат після спеціального значка «=», який в цьому випадку означає , що після нього записана «результат виконання операції».
Як опис його можна зрозуміти як «етажерку», що складається з декількох рівнів: операція додавання з місцями під два доданків, наповнення цих місць (числа).
Більш складний приклад:
a xx + b x + c
Тут етажерка складається вже з трьох рівнів:
Дві операції додавання, одна отримує «на вхід» результат іншої операції, «операнди» - це вже не просто числа, а «змінні» або навіть самостійні вирази, які можуть підставлятися замість «операнда».
Така собі суміш етажерки з матрьошкою.
4. З'являється поняття "змінної" - її можна уявити собі у вигляді шухлядки з назвою-биркою, вміст ящика може змінюватися. Позначається (напис на бирці) латинськими літерами a, b, c або x, y, z.
5. В чому різниця між цими літерами? X, y, z - це невідомі змінні, які нам пропонується знайти в результаті роботи, a, b, c - це змінні, які нам як би відомі перед початком виконання завдання, просто вони можуть бути будь-якими. Це дозволяє записувати формули для знаходження невідомих як би для будь-яких значень a, b, c. (Для будь-яких коефіцієнтів, або, як ще кажуть математики- «в загальному вигляді»).
6. Основний прийом, який породжує алгебру з арифметики полягає в тому, що ми невідоме нам позначаємо буквою x (змінної) і далі працюємо з цим невідомим як з відомим (виконуємо математичні операції з ним).
7. Приклад завдання, з яких виникає алгебра, як інструмент вирішення таких завдань.
«Два тракториста зорали поле в 120 га. Відомо, що другий зорав в два рази більше, ніж перший. Скільки зорав кожен? »
Ми не знаємо, скільки зорав перший, але можемо зробити вигляд, що знаємо і сказати: «нехай перший зорав x». У цьому весь трюк, який робить алгебра - невідоме стає «як би» відомим. Тепер можна зробити з цим «як би відомим» все ті операції, які описані в задачі:
- дізнатися, скільки зорав другий - 2 х,
- дізнатися, скільки вони зорали разом - х + 2 х
Тепер ми «начебто» знаємо, скільки вони зорали разом. Тепер потрібно «порівняти» це наше ЗНАННЯ з іншим знанням з тієї ж завдання - відомо, що разом вони зорали 120 га. Тому ми і «порівнюємо» (зрівнює):
Х + 2 Х = 120
Отримали «рівняння» - ваги, що складаються з двох чашок (лівої і правої), на яких зрівняні «гирі».
Як тільки рівняння складено, про ситуацію, описану в задачі можна забути. Чому? Оскільки ми вже вийняли з неї все що містяться в ній «знання», що стосуються порядку та кількості - вони у нас вже «засунуті» в «рівняння-ваги».
Тепер можна діяти тільки з рівнянням, але діяти за суворо визначеними правилами.
8. Такі правила розділені на 4 групи:
- приведення подібних членів виразу
-винесення за дужки \ розкриття дужок, дужки - це особливі «розділові знаки» в математичній мові.
- перенесення «члена вирази» з однієї частини рівності в іншу зі зміною його знака
- поділ \ множення обох частин рівності на одне і те ж число, не рівне 0.
Особливість цих правил полягає в тому, що вони регулюють наші дії з «буквами» і «словами» математичної мови. угруповання і перестановку «букв» і «слів» як особливих речей. І при цьому гарантують нам, що «математичний сенс» того «математичного виразу», слова якого ми переставляємо, не зміниться при всіх цих перестановках. Якщо, звичайно, ми не порушимо ці правила.
Звідки беруться ці правила? Вони доводяться математиками як особливі теореми, і передаються «обчислювачам» як готові рецепти (тут потрібно обговорювати різницю між математиком і обчислювачем - перший придумує і обґрунтовує алгоритми і формули, а другий їх просто застосовує для полегшення обчислень).
Тут ще потрібно пояснити, що таке «математичний сенс», який не змінюється при застосуванні правил. Це те, що математики називають «значення виразу», тобто то, що виходить, якщо ми підставимо в вираз числа замість змінних і виконаємо покладені на дії. Так ось, вираз до перетворень. проведених за правилами, і вираз після цих перетворень, має одне і те ж значення. Тільки виглядає «простіше» (містить менше змінних і операцій) - ми його «спростили», пожонглював «буквами» і «словами» цього математичного виразу. Якщо, звичайно, не порушили правила «жонгліровеанія».
9. Звідси зрозуміло, навіщо була зроблена алгебра. Алгебра - це простий інструмент для обчислень. (Складний інструмент простакам був би недоступний).
Щоб простаки і тугодуми могли за допомогою цього інструменту вирішувати обчислювальні завдання, підвладні до цього тільки мудрецям математикам.
Такий собі «підсилювач інтелекту».
Мудреців завжди мало (і вони ліниві), а обчислювальних задач завжди багато.